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les F étant des fonctions uniformes du point analytique {y, y', ••-.y"*)' 

 d'ailleurs arbitraire sur la surface/, et la transformation ainsi obtenue est 

 évidemment réversible. J'ai appelé, en particulier, l'attention (Comptes 

 rendus, t. CIV, 1887) sur le cas où cette transformation biuni/orme serait 

 biraiionnelle, et énoncé que, dans ce cas, on pouvait se rendre compte de 

 la nature des intégrales de l'équation différentielle. 



» Le cas de w r^ 2 a été traité complètement dans mon Mémoire sur la 

 théorie des fonctions algébriques de deux variables; comme l'extension 

 des raisonnements employés dans ce cas particulier présente au premier 

 abord quelques difficultés, je ne crois pas inutile de revenir sur ce point 

 en établissant que les intégrales pourront s'exprimer à l'aide des fonctions 

 abélieniies ou de leurs dégénérescences. 



» H suffira, pour montrer la marche de la démonstration, de se borner 

 à A/î = 3. Partons donc de l'équation 



Nous aurons le groupe de substitutions birationnelles 



Y =-V {h,y,y',y\y"), 

 Y'^Y,{h,y,y\y",f), 

 Y"=F,(A,j,y,j",y"), 



Y"'= F3 (A, j,/, /',/")• 



' » En admettant dans les fractions rationnelles F des indéterminés comme 

 coefficients, nous pouvons chercher à trouver ces indéterminés de la 

 manière la plus générale, de façon que Y soit une intégrale de l'équation, 

 quand j est lui-môme une intégrale. 



» Si ces coefficients, ainsi calculés, ne dépendent que de un ou deux 

 paramètres arbitraires, on se trouvera ramené au cas de /m = i ou de 

 m = 2, pour lesquels les conclusions que nous avons en vue sont établies. 

 Supposons donc qu'il y ait plus de deux paramètres arbitraires. Si cette 

 transformation ne forme pas un groupe, on se trouvera encore ramené 

 aux cas précédents; dans riivpothèsc contraire, on pourra isoler dans la 

 tiansformation un sous-groupe à deux paramètres, l'un de ces paramètres 

 étant h, et les deux substitutions de ce sous-grou^jc étant permutables. 

 Ecrivons ce nouveau groupe : 



Y = R(A,/î-,j,v',/',y") 



