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 avec les équations analogues pour Y', Y" et Y"', les R étant rationnelles 

 par rapport aux r. Les deux substitutions étant permutables, on pourra 

 choisir le second paramètre k de telle sorte qucles équations différentielles 

 donnant les Y en fonction de h et k, et qui sont classiques dans la théorie 

 de M. I,ie, ne renferment pas explicitement ces deux variables ; dans ces 

 conditions, on aura un système S d'équations aux dérivées partielles en 

 X' y'i y" ^t y qui restera inaltéré quand on fera sur les y la substitution 



Y = R {a,, a.,, r, y', y", y""). 



fi, et «2 étant deux constantes. Ce point acquis, nous cherchons, en met- 

 tant encore dans les fonctions rationnelles Rdes coefficients indéterminés, 

 à avoir la transformation la plus générale transformant en lui-même le 

 systèmes ; si nous ne trouvons que deux arbitraires, nous sommes ramené 

 à un cas déjà étudié ; le seul cas nouveau est celui où nous trouverions 

 ainsi un groupe à trois paramètres, soit 



Y = V(h,/c,Ly,y\y",y") 



avec les équations analogues. Les substitutions de ce groupe seront deux à 

 deux permutables. Nous arrivons donc à cette conclusion que la surface 



t{y^y' ^y"^y"'^ ^ " 



admet un groupe de transformations birationnelles à trois paramètres, les 

 substitutions de ce groupe étant deux à deux permutables. Il est alors 

 aisé de faire voir que les quatre coordonnées peuvent s'exprimer en fonc- 

 tions abéliennes de trois paramètres, et enfin toute intégrale de l'équation 

 s'obtient en mettant à la place de ces paramètres des fonctions linéaires de 

 la variable x. 



» Notre conclusion est donc établie : soiis l'hypothèse faite, r intégrale 

 générale de l'équation (i) s'exprime à l'aide des transcendantes de la théorie 

 des fonctions abéliennes. 



» Indiquons, entre autres conséquences de ce théorème, une proposi- 

 tion qui présente quelque intérêt. Soit une équation 



/(v,y, r", ..;.y"').^o, 



dont l'intégrale générale Y puisse .s'exprimer, à l'aide d'une intégrale par- 



