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 est satisFititc, soit par R„ = P«(^^). soit par R„ — Q„(-^')' f'/i '^^ ()„ étant res- 

 pectivenieiiL les deux fonctions sphériipies de l'ordre n, de première et de 

 seconde espèce. Il y ^ sonscat avantage à remplacer celte é([iiaHoii 

 nni(|ne, de second oriire, par les deiiK suivantes, de premier ordre, 



dont elle est une conséquence nécessaire. Ces deux équations (A) sont 

 connues : mais on se borne ordinairement à les vérifier séparément pour 

 les P„ et les Q„ {voir, par cxenqjle, les importantes Recherches de i\[. J.-E. 

 Nenmann, publiées en 1878), tandis qu'on peut, ainsi que je l'ai montré 

 ailleurs (//«/. Lomb. ,iS8-]), lesiléduire directement de l'é([uation de second 

 ordre, sans se rapporter nullement aux propriétés particulières des l*„ et 

 des Q„. Il y a seulement une remarque à faire, lorsque la question est 

 envisagée à ce point de vue : c'est que R , n'est pas, comme [',j et Q„, une 

 fonction entièrement déterminée de la variable; elle atlmet, au con- 

 traire, l'expression générale R,j = AP„ f- BQ„, A et B étant des constantes 

 arbitraires. Il suit de là que, si l'on se sert, par exemple, des fornuiles (h) 



pour exprimer R„ au moyen tle R„_i, ce qui se fait en éliminant -.-^ et en 

 tirant 



«R„ == /«a.-R„_, - (t ^ ''^')-zr' 



l'expression que l'on obtient de la sorte pour R„ contient les mêmes con- 

 stantes que R„^|. Mais ceci n'est pas un inconvénient, lorsque ces deux 

 fonctions sont considérées indépendamment l'une de l'autre : il suflit de 

 se rappeler que les deux constantes peuvent, [)()ur chaque valeur de //, 

 prendre toutes les valeurs possibles. 



» Pour montrer quelque application utile îles formules (^), posons 



U„ = ( I - œ'^y^^R,,, V„ == (i - x')~h\, 



et remarquons que lesdites formules, multipliées respectivement par les 



puissances 



/( — 2 . n -r- 



et ^ de I — X', se transforment dans les suivantes : 



2 



' //ri ' rrv 



nU„ = - (i - '^-y-^-' « V„_, = (t - œ-y -^. 



