( 9^7 ) 

 » De la seconde de celles-ci, on tire pour n = o 



V„ = A + B iog (3 + v'-' +^) 

 et, par siiile, 



^ _ A + B log(s-i-v/ c-+i> 



'0 



c est-a-dire 



V's'M-l 



Ufl = AsinÔ + B siiiOlogcot - 



» Soit, par exemple, R„ = P,,. On a alors 



U„ = sin"+ ' 6 P„ , Uo = si n = -pJ= , 

 Uo(s— a) = - 



\'(s — a)*+ I v'i ^ 2asin6 cos6 -h oc'^ sin-6 



» La série (d) est convergente si mod(7.sinO) <; i et, dans cette hypo- 

 thèse, on a le développement 



ya"sia"OP„ = -^==r 



^l — 2asin6 cos6 -j- a*sin^6 



qui, en écrivant x à la place de ocsinO, reproduit la|,^*rie classique. On ob- 

 tient en même temps une expression de P„, qui peut s'écrire 



p ^ (-1) " L d"{smb) _ 



" 1 .2. . . « sliV-'-'e rf(col6)«' 



» On aurait des résultats analogues pour les 0„, en posant 



U„ = sinO logcot -• 



Les expressions ainsi obtenues pour P„ et Q„ rentrent dans les formules 

 plus générales que M. C. Neumann a établies, par une méthode différente, 

 dans l'Addition à son remarquable Mémoire de 1886 Sur les fonctions sphé- 

 riques {Académie royale de Saxe). 

 » Les deux fonctions 



" «-I + " « __^ c "n-l — "« q-. 



2 *'" 2 ~ ^" 



satisfont, en vertu des formules (b), combinées par addition et par sous- 



