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 traction, aux équations 



et, par conséquent, aux équations séparées 



('--^)^S&-(^-^-)S"^-"'s„=o, 

 (i-^^)^-*-(i--^)S-'-"'T„^o. 



» La première de ces lonctions a un grand inlérèl (^dans h; cas où 

 R„ ~ l'„), parce que sa dérivée représente, comme on sait, la somme 



n- I 



V(,„..-i)P„„ 







que l'on rencontre dans l'étude ilu développement de Laplacc, borné aux 

 n premiers termes. L'équation de deuxième ordre en S„ pourrait servir à 

 calculer une valeur approchée de cette fonction pour n très grand; mais 

 je crois que l'expression la plus convenable de S„ est celle qui se tire de 

 l'une des deux formules connues (simplifiées de celles de Dirichlet) que 

 M. iMohler a données pour 1\, je veux dire la suivante (/i >> o) : 



sinnu cos - du 



2 



\ 2(cos8 — cosu) 

 )) Si, en eifet, siqjposant ]> o, on écrit cette expression sous la forme 



Il sinudii 



sin - V 2 (cos 6 — cos«) 







et si l'on se rappelle le contenu de Y Addition au célèbre Mémoire de Diri- 

 clilet sur le développement de Laplace (où l'exemple que cite l'illustre 

 auteur est bien près de celui que fournit l'inlégralc qui précède), on re- 

 connaît de suite que limS,, = o pour /z -=: se : tai)dis que pour 9 = o, on a 

 S„ = I quel que soit n. Cette remarque, associée à l'emploi (que MM. Dini, 

 Darboux et C. Neumann ont fait avec tant de succès) des théorèmes de 

 movennes, permet, ce me semble, de simplifier l'étude du développement 

 dont il s'agit, en la rapprochant étroitement de celle du développement de 

 Fourier. » 



