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une équation du premier ordre et tlu premier degré. Si son intégrale est 

 algébrique, elle j)eut s'écrire 



A désignant une constante, M et N deux polynômes en œ, y de degré m. 

 Chaque intégrale définit une courbe C de degré m; en un point (.r, y) du 

 plan des (a-, y), passe une courbe C et une seule, à moins que ce point 

 ne soit un des points M,(.r,, j,), commun aux deux courbes 



P = o, O = o. 



M Deux courbes C quelconques ont nr points communs (en tenant 

 compte de leur degré de multiplicité), et ces points font partie des 

 points M,. 



)> Pour éviter toute difficulté relative aux points à l'infini, effectuons sur 

 les variables x, y la transformation homographique (à deux variables) la 

 plus générale : ce qui revient à employer la notation homogène de Clebsch. 

 Tous les points M, sont alors à distance finie. On peut, par la méthode de 

 Briot et Bouquet, étudier, dans le voisinage de x^, les intégrales y égales 

 à j, pour a; — a-,; ces intégrales doivent être algébriques. De plus, parmi 

 ces points M,, un au moins doit être commun à toutes les courbes C. Con- 

 sidérons seulement les points M',, qui jouissent de cette propriété. 



» Les intégrales y (a^), égales à j', pour x- = x^, se divisent en nu certain 

 nombre v de classes; une intégrale de chaque classe est de la forme 



g = a„;F'' + a,a;'' + . . . , 



cia, a,, ... dépendant d'une constante, /^ et 17 étant des entiers. Une branche 

 au moins de chaque espèce fait partie d'une quelconque des courbes C, 

 et l'on a ainsi une limite inférieure de l'ordre de multiplicité tlu point 

 (,T,,^',) des courbes C. Mais 1 branches de la même espèce peuvent appar- 

 tenir à la même courbe C Si donc a désigne l'ordre de multiplicité d'une 

 seule branche, la somme i^^jx, étendue aux vêlasses, donne l'ordre de mul- 

 tiplicité du point M, des courbes C. Il est facile également de calculer, en 

 fonction des nombres a (qu'on ne saurait, en général, déterminer rt/j/-/on), 

 l'ordre de multiplicité a, de l'intersection de deux courbes C en M^. On doit 

 avoir 



ia, = nr. 



