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» Cette égalité permet de résoudre la question suivante ( ' ) : ReconnaUrc 

 SI l'intégrale d'une équation (i) est une courbe algébrique dont les points mul- 

 tiples n' admettent pas plus de k branches distinctes (^k est donné).' 



» D'autre part, on peut calculer la classe dés courbes C en fonction des 

 nombres \ de deux manières : par la première formule de Plûclcer, et en 

 se servant de l'équation (i). On obtient ainsi une nouvelle relation entre 

 le nombre m et les nombres \. En utilisant de même les deux dernières 

 formules de Plïicker, on forme en tout quatre relations auxquelles il con- 

 vient de joindre l'inégalité 



(m — i)(m — 2) _ ^ d(d — i) ^ 



2 " 'î 



[Cette inégalité et les trois dernières relations s'appliquent aussi bien à la 

 recherche d'une intégrale algébrique particulière de l'équation (i)] 



» Dans certains cas, ces équations suffisent à déterminer une limite 

 supérieure des nombres m. et 1, par suite à trouver des intégrales algé- 

 briques de (t). Mais on peut montrer que, s'il en est ainsi, le genre de ces 

 intégrales ne peut dépasser l'unité. 



•n Une autre méthode permet de trouver toutes les intégrales algébriques 

 de genre donné quivéïifient l'équation donnée (i). A l'aide d'une substitution 

 de Cremona, on ramène d'abord tous les points M, à coïncider avec l'ori- 

 gine O. Dans ces conditions, les intégrales de(i) ne peuvent avoir de point 

 multiple en dehors de l'origine. Soient m le degré d'une intégrale algébriqite, 

 ij. l'ordre de multiplicité du point O. Si [j. n'est pas supérieur à i, on a 

 aussitôt une limite supérieure de m, par l'équation 



(/n — i)(/« — 2) = 2/3. 



Si ly. est quelconque, on pose 



n = (m — i) — iJ- 



(') Une égalité analogue, étendue à tous les points M,, permet de reconnaître si 

 l'équalion (r) admet pli/s d'une intégrale algébrique particulière, dont les points mul- 

 tiples aient moins de /.■ branches distinctes. Dans le cas où il n'existe aucun point M^, 

 c'est-à-dire aucun point commun à toutes les intégrales, la même question se résout 

 sans connaître le nombre A". 



