( 995 ) 



GÉOMÉTRIE. — Sur les surfaces qui possèdent un réseau de géodesiques 

 conjuguées. Note de M. C Guicuakd, présentée par M. Darboux. 



« Sur une surface i considérons un réseau de courbes, les courbes 

 V = const. étant des géodesiques, les courbes m = const. leurs trajectoires 

 conjuguées. Désignons par a,, p,, y, les cosinus directeurs de la normale à 

 la surface; par a, p, y ceux de la tangente à la courbe (' = const.; para', p', y' 

 ceux de la tangente à la courbe u = const. Les hypothèses faites donnent 

 les relations 



(0 



(3) 



» Différentions l'équation (2) par rapport à m ; on aura, en tenant compte 

 des relations (3), 



(4) 2*^=0. 



^■^■' du ai' 



» Les équations (i), (2), (4) montrent que a,, fi,, y, sont solutions 

 d'une équation de la forme 



^ ^ duàv ^ dv ^ 



» Réciproquement, s'il en est ainsi, et si le réseau («, v) est formé de 

 courbes conjuguées, les courbes v = const. sont des géodesiques. Pour 

 que les courbes u = const. soient aussi des géodesiques, il faut et il suffit 

 que P soit nul. 



» Or il est facile de démontrer que toutes les équations de forme 



du àv 



qui admettent comme solutions les trois cosinus directeurs d'une droite, 

 rentrent, quand on choisit convenablement les variables, dans le groupe 



