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PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. -- Sur la théorie de la chaleur. 

 Note de M. Appelf,, présentée par M. Boussinesq. 



« I. Un grand nombre de problèmes relatifs à la propagation de la cha- 

 leur se ramènent à l'intégration de l'éqnation 



, \ du , d- u 



dans laquelle k désigne une constante positive, x une coordonnée, t le 

 temps et u la température fonction de x et de t. Si l'on suppose la tempé- 

 rature u donnée par une fonction /"(j:) à un certain instant initial /„, les 

 formules de Fourier permettent de calculer u à tous les instants t qui sui- 

 vent t„, l^tg. M. Boussinesq m'ayant engagé à examiner si l'état initial 

 donné peut être considéré comme provenant d'un état calorifique anté- 

 rieur, t <^ f„, je me suis d'abord occupé du cas simple de la propagation de 

 la chaleur dans une armille (Fourier, Théorie de la Chaleur, Chap. IV), et 

 les résultats obtenus confirment les indications que m'avait données 

 M. Boussinesq sur la nature probable de la solution. Prenons pour unité 

 le rayon de l'armilleet appelons x l'arc de circonférence compté à partir 

 d'un point fixe : la température u est évidemment une fonction de x ad- 

 inetSant pour période la longueur 27; de la circonférence. Supposons que, 

 pour t = t„, u ait une valeur donnée exprimée par une fonctiony(.r) finie, 

 continue, admettant la période 27; : d'après Fourier, cette fonction sera 

 développable en une série de la forme 



(2) /(ce) = ba -h a, sinjr -j- h, cosa- -+-. . .-f- «„ sinwa? -f- h„ cosnx 1- . . . 



et la température à l'instant t^t^ sera 



i u = b„ H- €-'"•'''« (a ^ 9,\nx -t- h^ cos.r) -j-. . . 

 ' ' 4- e-"'*'''''«*(<7„sin«a' 4- b„ cosnx) +. . ., 



série convergente pour / > ta- Nous ferons sur cette solution les deux re- 

 marques suivantes : 1° comme le montre M. Weierstrass dans ses articles 

 Ueber Funclionen einer reellen Verunderlichen (^ ), la fonction u représentée 



(') SilzKng^hcrichte der Akademie der Wissenschaflen zu Berlin, p. 8o3 ; i88."j 

 G. R., 1890, 1" Sfinieître. (T. CX, N» 91.) I ^i;) 



