( io6a ) 

 par l'équation (3), quand i>/„, est une fonction entière à& or Jévelop- 

 pahle en série procédant suivant les puissances positives de a.', 2' si Ton 

 donne à t une valeur déterminée /, supérieure à /„, 11 devient une fonction 

 /,{-r) représentée par la série (3) où / = /, ; l'état initial /(a;) est le seul 

 qui, de l'instant /„ à l'instant /,, conduise à la température/, (a;); car, du 

 développement en série trigonométrique de la fonction /, (a?), on déduit un 

 système de valeurs unique pour les coefficients a„ et è„. Ces deux remar- 

 ques montrent qu'une certaine distribution de température donnée en 

 fonction de .r à un instant /, ne provient pas nécessairement d'un état 

 antérieur : pour qu'il existe un état antérieur, il faut que la température 

 donnée soit une fonction transcendante entière de .r ; si l'état antérieur 

 existe, il est unique et se trouve déterminé par la série même de Fourier. 

 » II. On peut étendre ces résultats au cas général 011/(5) et u ne sont 

 plus périodiques en .r. En laissant celte extension pour un Mémoire plus 

 développé, je demande la permission de présenter quelques observations 

 sur l'équation (i), que j'écris sous la forme 



y , s ^ d-ii du 



(4) ha = ^_-^,^o, 



en remplaçant Â( par y et considérant les quantités réelles x et v connue 

 les coordonnées rectangidaires d'un point. D'abord, il résulte des re- 

 cherches de jNI. Lie que, siy'(a', y) est luie solution de l'équation (/i), les 

 fonctions 



(5) /(ao- -1- &, «^r + r), -^_. -/-r, ..I 



sont d'autres solutions, a, h, c désignant des constantes. La première de 

 ces solutions est évidente; la seconde se déduit de/(.r, y) par une trans- 

 formation analogue à l'inversion employée par Thomson dans la théorie 

 du potentiel. Toute solution de l'équation (4), entière en x eiy, est com- 

 posée linéairement avec les polynômes V,,(.r, y) définis par l'identité 



•1=0 



polynômes qui s'expriment d'une manière simple à l'aide de ceux que 

 M. Hermite a obtenus par la différenliation de l'exponentielle e""^'. Ces 

 polynômes et les fonctions qu'on en déduit par la transformation (5) 



I 



