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)) L'intégration faite, on change m en et l'on efface les termes de p 

 ayant 6 en dehors des signes périodiques. 



» Le premier point digne d'attention est le suivant. Dans le cas où il n'y 

 a pas commensurabilité, on trouve, avec Laplace, en multipliant les deux 

 équations différentielles par — dq, -\- dp et intégrant, 



P^ + <J' = const., 



d'oi!i résulte la stabilité des orbites relativement aux excentricités. La 

 même analyse dans le cas actuel, si on laisse de côté les termes en 



— p^ . .., conduit à cette intégrale 



(p^ -h q^y +ap- -+- bq^ -\- 2cp = const., 



équation qui représente une section plane d'un tore. MM. de la Gournerie 

 et Darboux, pour ne citer que ces deux géomètres, ont fait une étude 

 approfondie de ces courbes, appelées cycliques, lignes spiriques, .... 



» Au changement de forme analytique de l'intégrale répond un change- 

 ment notable dans les conséquences. Tandis que dans le cas ordinaire la 

 supposition de/?, q très petits à une époque quelconque entraîne que/?, q 

 resteront toujours très petits, la même supposition, dans le cas de la com- 

 mensurabilité, nécessite une distinction. Si, pour fixer les idées, vest com- 

 parable à '--) tant que e = \lp- -f- q^ sera très petit par rapport à 1/- > 

 l'intégrale pourra être réduite à 



ap- -\- hq- + 2cp =: const. ; 



de ce que/? et q sont très petits à un moment donné, il ne s'ensuit plus 

 qu'ils resteront toujours petits; q peut varier notablement. 



» Mais il y a une limite à ces variations, parce que, e augmentant, le 

 terme principal de l'intégrale devient 



(P^ + 7')' = const., 



de sorte que l'on retombe sur le cas habituel. 



» On voit le rôle des termes du troisième degré dans les équations dif- 

 férentielles : ils ont la propriété de limiter les variations; M. Gyldén les 

 appelle termes horisliques. 



» Essayons, en partant de ce qui précède, d'ajouter un complément à la 

 théorie de la formation des planètes par la nébuleuse solaire, pour tenir 

 compte des perturbations des planètes déjà formées. Voyons l'effet de Ju- 



