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 continue Y(x,y, z) jouissant des propriétés suivantes : 



AV 4- çp = o . . . dans D, t— = hY . . . sur S, 



h étant une constante positive donnée et (f(x,y,z) une fonction donnée. 

 » Soit S' une surface fermée tracée à l'intérieur de D : on suppose que 

 S' a le même ordre de connexion que S et qu'il existe une correspondance 

 univoque entre les points M de S et les points M' de S'. Soit >. un para- 

 mètre compris entre o et i. Cherchons une fonction W jouissant des pro- 

 priétés suivantes : 



AW + <p =^ o . . . dans D, W,, = >^ W,,. . . . sur (S, S'). 



Pour cela, faisons les approximations suivantes : 



AWo+9 = o... dans D, AW/ 4-9 = dans D, 



W„ = o... sur S, W, = XW;._,... sur (S, S'). 



On peut, sans restreindre la généralité, supposer 9 = 0. Alors on a 



W,>o, W,<W,v,. W,<N, 



N étant un nombre assignable. On conclut de là l'existence d'une limite W 

 et, en appliquant le théorème de Harnack à la série 



2(W,^.-W,), 



on trouve que W résout le problème proposé. 



» De même, soit <I> une fonction définie pour tous les couples de points 

 correspondants de S et S'. On peut trouver une fonction JJ(x,y,z) telle 

 que 



AU = o... dansD, U = XU' + <I>. . . . sur (S, S')- 



Nous appellerons la surface S' surface caractéristique et le paramètre \ pa- 

 ramètre caractéristique. 



» On peut considérer W comme une fonction de (^x,y,z,\), si l'on 

 prend pour S' une surface parallèle à S et si l'on pose 



I ~ a h^ 



A = 1 a - - - 0, 



I + a 2 



8 étant la distance de S à S'. On vérifie sans peine que W est une fonction 

 continue de >. pour toute valeur de 1 comprise entre o et i. Enfin il est 

 possible d'assigner à W une limite supérieure indépendante de \. 

 » Cela posé, considérons la fonction U telle que 



AU = o... dansD. U=1U' + W'— ,, ^\,, ?^ ••• sur (S, S'). 



