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 » Les dernières équations nous présentent les conditions d'intégrabilité 

 du système donné (4) dans le cas où parmi n variables Xj il n'y a que deux 

 variables indépendantes et toutes les autres sont des variables dépen- 

 dantes. 



» L'auteur applique les résultats précédents au cas particulier du 

 système 



dx; = X I , (/r , -t- X , ^; cix.^ -f- X , ,3 fZa?j , 



dx-^ = Xo.i dXf 4- Xj,, dx^_-\- Xas dx.^, 

 dXf^ = X.J , dx^ H- X3.2 d^i -+- ^3^3 dx.^. --> 



ANALYSE MATHEMATIQUE. — Sur la théorie des substitutions échangeables. 

 Note de M. Demeczky, présentée par M. C. Jordan. 



« Nous allons chercher la condition nécessaire et suffisante (') pour 

 que deux substitutions A et B, échangeables entre elles, de forme quel- 

 conque, d'ordre n et n' , soient des puissances d'une même substitution R. 



» On montre tout d'abord facilement que, dans tout cas où A et B 

 peuvent être représentées comme des puissances d'une même substitution, 

 il y a toujours une telle substitution R, qui peut être exprimée comme le 

 produit des puissances des substitutions A et B. 



» Soit maintenant A'' la première des puissances de A (\ étant un en- 

 tier positif), qui soit en même temps une puissance de B, et soit Bi^ la pre- 

 mière des puissances de B ([/.étant un entier positif), qui soit en même 

 temps une puissance tle A. Nous allons prouver qu'on a 



n = ky., 



n'= ku., 

 k étant un entier positif. 

 » Soit 



A^ = B^'. 

 On voit que ces puissances 



(i) 1, A. A^ A 



\-\ 



(') Serrel, traitant la même question, spécialise beaucoup la forme des substitu- 

 tions écliangeables {Cours d'Algèbre supérieure, par J.-A. Serret, 4° édition, t. II, 

 p. 260-270). 



