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sont toutes différentes entre elles. Multiplions la série (i) par B^' et nous 

 aurons 



(2) B^', AB^', A=B^', ..., A^-'B^'. 



Les substitutions de la série (2) sont distinctes entre elles et distinctes des 

 substitutions (i) en supposant l<C_n. Comme les substitutions (2) sont 

 aussi des puissances de A, nous en avons déjà 2>.. En poursuivant de cette 

 manière bien connue, on prouve aisément que n est divisible par 1 et l'on 

 aura 



n = il. 

 » En posant ensuite 



Bi^ = A^\ 

 on trouve de la même manière 



n' = i'iL. 



» Comme il est facile de le montrer, ;/.' doit être un multiple de 1 et 1' 

 un multiple de [j.. 



)) D'où l'on peut déduire aisément qu'on a 



k' = k. 

 » Nous avons 



B''*=i. 

 » Mais comme on a aussi 



(B'O^. 



A' étant le plus grand diviseur commun des nombres - et ^', on voit que 



H" 



A étant le plus grand diviseur commun des nombres y et k. 

 » Des (4) et (3), on déduit 



AA' = i et k' = k, 

 ce qui était à démontrer. 



» Nous avons obtenu le résultat suivant 



A^ = B""!^, 



