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r étant un nombre entier positif. Nous pouvons toujours choisir r de 

 manière qu'il soit premier et premier à \. Comme l'ordre de B est n' = k<j., 

 on peut écrire 



» Mais comme r et k sont premiers entre eux, la progression arithmé- 

 tique r + uJc, d'après le beau théorème de Dirichlet, représente une infinité 

 de nombres premiers et alors une infinité de nombres premiers et pre- 

 miers à y.. Nous avons alors 



(5) A' = B''^ 



p étant un nombre premier et premier à X. 



» Considérons maintenant le groupe (A, B). Il contient, d'après les ré- 

 sultats que nous venons d'établir, k\[j. substitutions de la forme 



(G) A^B^ (a' = o, I, 2, ...,X-i; r= I, 2, 3. ...,yt~). 



» Pour que les substitutions A et B soient des puissances d'une même 

 substitution, il faut et il suffit que l'on ait, entre les substitutions (6), une 

 substitution dont l'ordre soit précisément k\j.'K. 



» La puissance p, d'une telle substitution A-^B', se réduit à l'unité aux 

 conditions suivantes : 



(■y) ■ pj; = l3 (:; étant un entier) 



et 



(8) />;j.; + ypsEso (mod Aa). 



» D'après la première de ces conditions, on aura 



(A-'^B^)P = B''i"=-^P-', 

 d'après (8), 



(A^B^)P=^i. 



» De (7) et (8) on déduit facilement 



(9) ^{pii..T + \y) = o {moàk'jX). 



» On voit, par cette congruence, que Tordre de la substitution A^B^ sera 

 k^jX, si l'on peut déterminer ^ et j de manière que p]j-x + ^ J soit pre- 

 mier à k'jX. Soit S le plus grand diviseur commun des nombres /j'x et \. 



Posons 



p[j.x -h \y = s. 



Celte équation indéterminée est toujours résoluble. 



C. K., iS<;'), I" Semestre. (T. C\X. N' 1.) " 



