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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la théorie des Surfaces 

 el des groupes algébriques ; par M. Emile Picard. 



« Dans mes recherches sur les fonctions algébriques de deux variables 

 indépendantes, j'ai donné un théorème sur les surfaces admettant un 

 groupe fini et continu de transformations birationnelles. 



» Cette proposition peut être généralisée et complétée; c'est ce que je 

 me propose d'indiquer ici en faisant connaître un théorème général sur 

 les groupes algébriques. 



» 1. Je n'aurai besoin d'employer aucun principe nouveau de démons- 

 tration, et je me reporterai seidement à la proposition suivante que j'ai 

 précédemment établie {Comptes rendus, 28 avril 1890). Soit une équation 

 différentielle où la variable x ne figure pas explicitement 



(0 /[/./.•••.jn = o, 



yétant un polvnome. On suppose que, quand on remplace dans une inté- 

 grale quelconque x par x -h /i, h étant une constante arbitraire, on a, en 

 désignant par Y, Y', . . ., Y'""' les nouvelles valeurs de y, y', .. ., j'"'' 



Y = F [h,y,y,...,y'% 

 Y' = F,[h,y,y',...,y'"q, 



Y"")=F,„[A,j,/,...,y'")], 



les F étant rationnelles eny,y', .. .,y"'. Dans ces conditions, l'intégrale 

 générale de (1) est uni/orme et s'exprime à V aide des transcendantes de la 

 théorie des fonctions abéliennes ou de leurs dégénérescences. 



» Ceci rappelé, prenons une surface algébrique dans un espace à n di- 

 mensions, 



et supposons que cette surface admette un groupe G continu et fini de 

 transformations birationnelles. Envisageons un dessous-groupes finis à un 

 paramètre contenus dans G; ce sous-groupe sera défini par un système 

 d'équations de la forme 



(2) ~ = \i{x^,Xi,...,x^) (; = [, 2, ...,«), 



