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les X étant rationnels en x,, x^, . . ., x„. Puisque ce sous-groupe fait partie 

 du groupe G, le système (2) jouit de la propriété indiquée pour l'équa- 

 tion (i), et, par suite, nous pouvons considérer que, dans les équations fîmes 

 (lu sous-groupe précédent, les coefficients sont des fonctions uniformes du para- 

 mètre arbitraire s' exprimant à l'aide des transcendantes de la théorie des fonc- 

 tions abéliennes. 



» En opérant ainsi pour chacun des sous-groupes à un paramètre, on 

 arrive par combinaison au théorème général suivant : 



)) Si le groupe G est à r paramètres, on peut s'arranger de manière que les 

 coefficients des fonctions rationnelles des x qui donnent le groupe soient des 

 fonctions uniformes des r paramètres s'exprimant au moyen des transcen- 

 dantes de la théorie des fonctions abéliennes ou de leurs dégénérescences. 



» 2. Un cas particulièrement simple est celui des groupes de substitu- 

 tions de Cremona. Si, en désignant m lettres indépendantes par Xf,X2, . . ., 

 a;^,, on a la substitution birationnelle entre les x et les X 



A- , =^ ri| ^t^'), «2/0, . • •, Xfn, 6t, , .... Uf. j , 



-\-jfi — tXjfiyX ^, X^, * * 't Xffj, a ^, . .., «y. j , 



formant un groupe à r paramètres, on peut toujours s'arranger de manière 

 que les R soient des fonctions uniformes des a s'exprimant par les transcen- 

 dantes abéliennes . 



» 3. Reprenons le cas particulier de la surface algébrique 



f(x,y,z) = o, 



et supposons que cette surface admette un groupe de transformations bi- 

 rationnelles. J'ai établi (Journal de Mathématiques, 1889, p. 222) que 

 deux cas peuvent se présenter : 1° ou bien il y aura sur la surface un fais- 

 ceau de courbes algébriques de genre zéro ou un, 1° ou bien les coordon- 

 nées d'un point quelconque de la surface s'expriment par des fonctions 

 abéliennes de deux paramètres (ou dégénérescences) au moyen de l'in- 

 version de deux intégrales de différentielles totales attachées à la surface. 

 » Nous allons adjoindre à ce théorème une seconde proposition qui 

 permet de le préciser. Supposons que le groupe soit transitif; nous aurons 



