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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les lignes de courbure. 

 Note de M. Thomas Craig, présentée par M. Hermite. 



« Considérons une surface quelconque 



<^{x,y,z) = o, 

 et soient p et p, les paramètres d'un système conjugué; soient aussi 



^ = §■(?' Pi )• 7 = ^(p. ?i). = = '^-(p.p.). 



les expressions des coordonnées d'un point de la surface en fonction des 

 paramètres p, p,. Nous savons (Darboux, t. I)que x, y, z satisferont à une 

 équation de la forme 



/ v à'-fi dfi , du 



àpdpi dp dpi' 



si, en outre, cette équation admet la solution œ'^ -\- y^ -h z'^ , on sait que p 

 et p, sont les paramètres des lignes de courbure de la surface <^(x,y, z). 

 » Cette proposition peut être généralisée très facilement. Supposons 

 que l'équation admettant les solutions x;,y, ^ admet aussi comme solution 

 particulière la fonction 



a(x, y, z) = CD, (x) -+- ç.( y) + 'i^^i^), 



les fonctions cp,, Ça» ?3 étant quelconques. 



» La condition pour que Q soit une solution de (i) est facile à trouver; 

 elle est, en effet 



d'-'fi dx dx d/i d/i 



dx^ dp dpi dp <Jpi 



et (2) peut être écrit dans la forme 



dp dpi dp dp, dp dpi 



— o, 



