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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la théorie des équations aux dérivées 

 partielles. Note de M. Wladimir de Ta.xxenberg, présentée par M. Darboux. 



« On sait que le problème de l'intégration d'un système d'équations aux 

 dérivées partielles peut être considéré comme un cas particulier du pro- 

 blème général suivant : 



» Déterminer n fonctions x, , . . . x^de q i^ariables indépendantes satisfai- 

 sant aux p équations aux différentielles totales 



(i) 0rf = 2XrtC?a7A = o {i=i,i ,p), 



A- 



OÙ les X,v; •'<ont des /onctions données de x,, . . ., x,^. 



» On suppose qu'il est impossible de trouver des fonctions a?,, . . ., x^ 

 de {q 4- 1) variables indépendantes satisfaisant aux mêmes équations. Le 

 but de cette Note est d'indiquer une classe assez étendue de systèmes, tels 

 que le système (i), pour lesquels la question précédente comporte une sim- 

 plification. 



» 1. Supposons qu'il existe un groupe de transformations à un para- 

 mètre /, 



(2) ^, =/;.«,...,<, 6), 



jouissant des propriétés suivantes : 



» 1° Le système (i) est invariant par ces transformations. 



» 2° Les fonctions de définies par les équations (2), quand on y 

 considère x\,..., .t" comme des constantes, satisfont identiquement aux 

 équations (i). 



» Dans ce cas, pour résoudre le problème, on est ramené à chercher 

 des fonctions x\,...,x\ de (^ — i) variables indépendantes satisfaisant 

 identiquement au système 



^X.1,dxl^^o, où X»,=X,,(a;î,. ..,<). 



h 



On peut donc- dire que le problème est simplifié. Or, la recherche des 

 transformations (2) se fait d'une manière fort simple. Soient 



Sj", r / \ 



les équations différentielles qui les définissent. L'application de la théorie 



