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des groupes de M. Sophus Lie (ou un raisonnement direct) montre immé- 

 diatement que les fonctions c(x,, . . ., cc„) sont déterminées par les identités 



01 — o (1 = 1,2, ...,p) 



. + x,^0f;, 0< = o. 



Ce système invariant est analogue à un système étudié par M. Darboiix 

 dans son Mémoire sur le problème de Pfaff ('). 



» Les quantités E^;. sont donc définies par des équations du premier 

 degré, dont le nombre est supérieur à n. Pour que la simplification en 

 question soit possible, il faut et il suffit que ce système du premier degré 

 soit compatible. 



B 2. Parmi les systèmes d'équations aux différentielles totales que nous 

 venons de considérer, il convient de citer le suivant bien classique 



(3) d/=o, dz — pdx — qdy ^=0, 



où/est une fonction de x, y, z, p, q. La méthode d'intégration, fournie 

 par les considérations qui précèdent, coïncide au fond avec la méthode 

 de Cauchy, perfectionnée par M. Darboux. 

 )) Considérons encore le système 



df^o, dg = o. 



(4) , 



^ dz — p dx — q dy =^ o, dp — rdx — sdy ^ o, dq — s dx — tdy ^ o, 



où y et g sont des fonctions de x, y, z, p, q, r, s, t. Le système (I) devient 

 ici, en désignant par p, p', t, a' des inconnues auxiliaires : 



-g^ = Rp 4- R'p'= Su + S'c', Tp-t-T'p' = o, 

 g = Sp+S'p'=:Tc4-T'c', Rcr+R'u'=o, 



88 ~ \dx)^ \dx)^' 



i=-(l).-(l)p-~(i)'-(ïy. 



86 \dyj' Kdy)"' 



8s — p^x — q^y := o, ^p — r^x — s^y = o, ^q — s^x — tÈy 



(') Bulletin des Sciences mathématiques; 1882. 



