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 connaît une méthode logique et nécessaire de résolution : tout progrès 

 accompli dans cette résolution est défini par un groupe dont on connaît 

 explicitement les invariants différentiels. En indiquant, à ce moment, un 

 certain nombre de ces problèmes, nous avons annoncé que la plupart des 

 questions d'intégration pouvaient se traiter par la même inéthode. 



» Au lieu de donner immédiatement les résultats auxquels nous sommes 

 parvenus, il nous a paru indispensable de chercher à les présenter sous une 

 forme aussi élémentaire et intuitive que possible; nous avons été conduits 

 ainsi à reprendre la théorie des équations algébriques donnée par Galois 

 et à l'exposer de façon que son extension aux systèmes différentiels soit 

 immédiate ('). Cette extension fait le sujet d'un travail qui sera prochai- 

 nement publié et dont nous allons indiquer brièvement les points essen- 

 tiels. 



)) Soit un système formé d'un nombre limité d'équations algébriques 

 entre : i° des données A,, ..., A„, fonctions déterminées, c'est-à-dire 

 isolées logiquement, de variables indépendantes ^r, , . . . , a:^ et leurs dérivées 

 partielles jusqu'à un ordre déterminé; 2° un certain nombre d'incon- 

 nues s,, ..., z,„ et leurs dérivées par rapport aux x, jusqu'à un ordre 

 déterminé : il est, en général, impossible, à l'aide des signes d'opérations 

 qui ont été nécessaires pour définir logiquement les A, d'exprimer d'une 

 manière explicite les éléments Z les plus généraux qui vérifient le svstème. 

 On est alors amené à faire Xintègration logique du système, c'est-à-dire à 

 étudier d'une façon précise le système des relations explicites indépendantes 

 que l'on peut écrire entre les données, leurs dérivées, les inconnues et leurs déri- 

 vées. Lorsque cette étude sera faite, on pourra introduire dans les raison- 

 nements et les calculs les éléments Z considérés comme explicités : ces 

 éléments sont entièrement définis par le système des relations explicites 

 dont il vient d'être question et, au point de vue logique, il est impossible 

 de les définir autrement. 



» I. Pour intégrer une équation linéaire aux dérivées partielles 



0) X(/)=g + A,i^+... + A.i^_=o 



à (n + i) variables, il est nécessaire et suffisant d'en déterminer n solu- 

 tions; ces n solutions ne peuvent être définies qu'aux transformations près 



(') Introduction à la théorie des nombres et à l'Algèbre supérieure (3= Partie). 

 Nony et C", iSgS. 



