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 du groupe ponctuel général à n variables ou de l'un de ses sous-groupes. 

 Il existe autant de types de transcendantes définies par l'équation (i) qu'il 

 existe de types de sous-groupes, finis ou infinis, du groupe ponctuel à 

 n variables. Tous ces types de sous-groupes ont été pour i, 2 et 3 variables 

 déterminés par M. Lie qui a donné des méthodes générales pour le cas de 

 n variables. 



» Pour déterminer à quel type appartiennent les transcendantes qui 

 permettent d'intégrer une équation donnée, il suffira de reconnaître si 

 certaines équations résolvantes, que i on sait former par des opérations ration- 

 nelles admettent ou non des intégrales rationnelles. C'est là un problème 

 pratique qui n'a été abordé que dans des cas très restreints. 



» L'étude des transcendantes de chacun de ces types, au point de vue 

 de la théorie des fonctions, et celle de leur forme analytique au voisinage 

 des domaines singuliers, se ramènent à celle d'un sous-groupe discontinu 

 du groupe fondamental correspondant. Ces groupes discontinus sont, par 

 exemple, dans le cas où le groupe fondamental est linéaire et homogène 

 ceux qui ont été étudiés par M. Poincaré ('). Le groupe fondamental est 

 toujours \e plus petit groupe continu qui renferme le groupe discontinu 

 qu'on vient de signaler. 



» IL L'intégration des systèmes complets d' équations linéaires amène à 

 la considération des mêmes groupes, étendus — erweitert — en considé- 

 rant les n solutions comme fonctions da n -\- q variables non transformées, 

 si le système est formé de q équations. Ajoutons que les invariants diffé- 

 rentiels à considérer ne renfermeront, dans tous les cas, que des dérivées 

 prises par rapport à n de ces variables; ce sont donc les mêmes quel que 

 soit le nombre q, les résolvantes seules sont différentes. 



» III. L'intégration de l'équation aux dérivées partielles du premier 

 ordre 



X(a7, X,, ..., œ,^,p,p,, p„) = con.i,V., 



oi\ X désigne, pour plus de netteté, un polynôme, homogène par raj)port 

 aux/;, se ramène, d'après Cauchy, à celle de l'équation linéaire 



(X,/) = o. 



» Nos théories montrent que le groupe fondamental est, pour cette 

 équation, un groupe de transformations de contact en (a;, p) à n variables, 



(') Sur les groupes des équations linéaires {Acla Malheiiiatica, l. IV). 



