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 ainsi qu'il résulte de l'identité 



PdX.-hV,d\, + . . . -f- P„ r/X„ = 77, dx, -h...-{- p,^dx„, 



vérifiée par un système déterminé de solutions X,, ..., X„; P,, ..., P„. 



» On parvient également à des groupes de transformations de contact 

 en (x, p), étendus convenablement, quand on étudie l'intégration des sys- 

 tèmes en involutwn 



X = a, X, = fl, , • • • , Xy ^ dij, 



c'est-à-dire celle du système complet (X,, /j = o (« = o, i, ..., q). 



)) Ces résultats peuvent être obtenus directement en cherchant à déter- 

 miner les intégrales complètes des équations considérées; si on les applique 

 alors à une équation linéaire 



/> -t- A,/>, + . . . + A„/?„ = o, 



on reconnaît que le groupe fondamental est simplement un groupe ponc- 

 tuel prolongé. Dans les autres cas, on doit étudier la détermination simul- 

 tanée des X et des P, car les transformations du groupe fondamental ne 

 dépendent point des X seuls. 



)) Il est bien évident que la méthode s'applique directement, avec une 

 légère modification, aux équations qui ne sont plus homogènes et de degré 

 zéro par rapport aux dérivées p ou qui renferment la fonction z. 



» IV. Les problèmes qu'on vient de signaler sont des cas particuliers 

 du suivant, qui peut se traiter de la même manière : 



» Soient cp,, ..., (p„ des fonctions des a; et />, telles que l'on ail : 



(?/, ?*) = '«',■*( <Pi, ••-,<?«), 



les Wik satisfaisant aux conditions d'intégrabilité; on donne en fonction des 

 variables x et p les expressions de ç,, . . ., ç^, on propose de déterminer 



» Y. Les transcendantes qui permettent d'intégrer les équations aux 

 dérivées partielles du premier ordre (et aussi les équations différentielles 

 ordinaires) peuvent donc être définies a priori en partant des différents 

 types de groupes ponctuels ou de contact étudiés par M. Lie, les étendant 

 de toutes les manières possibles, formant des systèmes complets d'inva- 

 riants différentiels rationnels et les égalant à des fonctions rationnelles des 

 variables choisies de manière à vérifier les conditions d'intégrabilité. 



)) Terminons en observant que ce que nous appelons intégration logique 

 est probablement ce que Galois entendait, dans sa lettre à A. Chevallier, 

 par Théorie de l'ambiguïté en Analyse. » 



