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 tion de la méthode de M. Lw pour l'intégralioii des systèmes complets qui 

 admettent des transformations infinitésimales connues fournit d'abord, 

 sans intégrations, un certain nombre d'intégrales du système (6). Même 

 dans le cas où le groupe G est asystatique, le problème se trouve par là 

 entièrement résolu; ce qui redonne une proposition connue de M. Lie. 

 Mais, en général, on est seulement ramené à intégrer un système complet 



( 7 ) I^y./ = 2 >vK V, y, . . . r.^v) j^ = " (y = i , 2, . . . , « ; v < z^. 



1=1 



connaissant un groupe de v transformations infinitésimales, 



i 



qui laissent ce système invariant; de plus les« + v expressions I,^, Y;; sont 

 linéairement indépendantes. Introduisant alors un groupe 



m 

 (9) 7^Kf=TCu(=;---^.n)^^ (^ = I,2....,v) 



1=1 



isomorphe au groupe (8), et dont on peut supposer connues les équations 

 finies, on peut démontrer que tout revient à intégrer le système complet 



L,/=o, ..., L„/=o, Y,/+Z,/=o, ..., Y,/-)-Z,/=o, 



ce qui conduit de nouveau, en posant 



.y< = ?<ii j«+v=p«+v«, 



à une équation de Lie 



J^+V.,(„)Z/=o; 



et, comme on connaît les équations finies du groupe (8), le théorème est 

 démontré. 



)) Enfin, si le groupe G est intransitif, on aura à déterminer d'abord ses 

 invariants, c'est-à-dire à intégrer le système (3); en prenant ces invariants 

 comme variables nouvelles, à la place d'un certain nombre des a?, on 

 pourra les traiter comme des constantes, et l'on sera dès lors ramené au 

 cas précédent, » 



