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» On peut ajouter que ^. n'est certainement pas nul si la somme S de 

 (4) est suffisamment petite. En effet, si S <1 :^, on a, en posant 



2(' + l?v-.|)-i<s:(i-s)<,; 



V = 2 



d'où 



|A-i|<i et |A!>o. 



» Supposons que les 1^ et [x, soient fonctions des variables indépendantes 

 X,, ûT.,, ..., x^. Soit T un domaine quelconque dans lequel les fonctions — 



et — "~ — sont holomorphesetla série (4) uniformément convergente. D'a- 



près le lemrae If, les déterminants infinis A et A' seront des fonctions ana- 

 lytiques, holomorphes dans T. Donc, dans tout le domaine T, la fraction con- 

 tinue ( 2 ) représente une fonction analytique méromorphe de x^,a\, . . . , x^ qui 



peut s' exprimer parle quotient de deux fonctions — A' e^ A holomorphes dans T. 



» Soit ï, un domaine situé tout entier en dedans de T et tel que, pour 

 tous les points de T,, la somme (4) soit <[ ^. Nous savons alors que A ne 

 peut s'annuler pour aucun point de T,. Donc notre fraction continue repré- 

 sente une fonction holomorphe dans T, . 



» Ainsi, par exemple, la fraction continue 



Cl 4 



c, - 



où les c, sont des constantes telles que la série V -; converge absolu- 



ment, représente certainement une fonction F (a;) de x méromorphe dans 

 tout le plan; et cette fonction reste certainement holomorphe tant que l'on 



a I a; I <; — r^, A désignant la somme 'S 



C j.-i Cv 



» De même, si la série ^x^ converge absolument, la fraction continue 



a. 



