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PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Sur le problème de Foiirier. 

 Note de M. E. Le Roy, présentée par M. Poincaré. 



« La méthode d'approximations successives, au moyen de laquelle 

 M. Poincaré a résolu le problème de Dirichlet, ne réussit pas seulement 

 pour l'équation de Laplace. Appliquons-la au refroidissement d'un corps 

 solide par communication. 



« Il s'agit de trouver une fonction Y{x,y, :,/) continue à l'intérieur 

 d'un domaine D limité par une surface fermée S, satisfaisant en tout point 

 de D et pour toute valeur positive du temps à l'équation 



-^' = f. 



prenant sur S des valeurs données indépendantes du temps et se réduisant 

 pour ^ = o à une fonction de (x-, y, z) arbitrairement donnée. 



» Le problème ne comporte qu'une solution et, si l'on sait résoudre le 

 problème de Dirichlet, on peut ramener le cas général au cas où la fonc- 

 tion V s'annule sur S. 



» Soit T une sphère contenant la surface S à son intérieur. Considérons 

 la fonction 



w„ =/// p(^> •^-. 0^""" ^" ^^ ^^-^ (i^ 



» On peut choisir a et p de façon que Wo soit positif dans T. Cette 

 fonction jouit d'ailleurs de toutes les propriétés d'une fonction potentielle 

 pour laquelle l'équation de Fourier serait substituée à l'équation de 

 Laplace. 



» Prenons les sphères envisagées par M. Poincaré dans sa solution du 

 problème de Dirichlet et considérons-les dans le même ordre que cet 

 auteur. 



» Construisons une suite illimitée de fonctions W, de la façon suivante : 

 à l'extérieur de la sphère de rang i -h i, W/+, coïncide avec W, ; à l'inté- 

 rieur de la sphère de rang i + i, VV,^, satisfait à l'équation de Fourier, se 

 réduit à la même fonction que W, pour l = o et prend sur la sphère les 



