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 (le sa découverte fournit une nouvelle preuve des ressources de l'analyse 

 spectrale, et elle donne une haute idée de la patience et de la précision 

 des expérimentateurs qui ont obtenu de semblables résultats. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions abéliennes. 

 Note de M. H. Poincaré. 



« Soit 



F(i/,,M2, ...,Up) 



ou simplement F(«,) une fonction abélienne, c'est-à-dire une fonction à 

 p variables et à ip périodes qui ne change pas quand l'un des arguments 

 augmente de 2/71; et qui admet, d'autre part, p autres périodes dites de 

 seconde espèce, de telle sorte que l'on ait 



¥((/, + a,/,) = F (u,) (k=:i,o, ...,p). 

 Les/?^ quantités ajf, satisfont d'ailleurs à la condition 



» Parmi les fonctions abéliennes, je distinguerai celles que j'appellerai 

 spéciales et qui doivent leur origine à une courbe algébrique C de genre/?. 

 On sait que pour p = 2 el pour p = 3 toutes les fonctions abéliennes 

 sont spéciales, mais qu'il n'en est plus de môme pour p^ 4- 



» A l'égard des fonctions abéliennes spéciales, on peut considérer/) inté- 

 grales abéliennes de première espèce 



qui sont des fonctions des coordonnées a; etj d'un point de la courbe C, 

 ou plus simplement encore des fonctions de l'abscisse ce seulement. 



)) Considérons maintenant la fonction 0. 



» On peut étudier ses zéros à deux points de vue différents. On peut 

 d'abord former /j équations k p inconnues 



(0 0(M,-e,^) = o (/(•= 1,2, ...,/?) 



où les e,V( sont/>* constantes doimées. Les équations (i) admettent, comme 

 je l'ai montré, pi solutions. 



» On peut encore, comme l'a fait Riemann, s'il s'agit de fonctions spé- 



