( Ao ) 



ciales, former une seule équation à une inconnue 



(2) 0[(',(a;) -e,] = 0, 



où les Ci sont p constantes données. Le nombre des solutions est alors 

 égal à p. 



» Ces résultats peuvent être généralisés de plusieurs manières diffé- 

 rentes : 



» i" J'appellerai fonction une fonction entière de u^, u.,, . .., iip qui, 

 comme la fonction 6, se reproduit multipliée par un facteur exponentiel 

 quand on augmente les «,• d'une période de deuxième espèce et, de plus, 

 ne change pas quand un des u^ augmente de 2.17:. Je dirai que deux fonc- 

 tions ô appartiennent au même faisceau quand elles admettent les mêmes 

 facteurs exponentiels et qu'une fonction est d'ordre n quand elle admet 

 les mêmes facteurs exponentiels que 



[6(Ui~e,)]". 



» Un faisceau d'ordre n comprend «'' fonctions 9 linéairement indépen- 

 dantes. 



M Cela posé, s'il s'agit de fonctions spéciales, on démontre aisément 

 qu'j/y a dans un faisceau d'ordre n 



n'' -h p — np — I 



fondions 9 linéairement indépendantes qui s'annulent identiquement quan l 

 on y remplace u, par i'i{x). 



» 2" Supposons toujours qu'il s'agisse de fonctions spéciales et formons 

 les q équations à q incor-nues 



(3) 0[<',(a7,) -h <^,(.r,) +. ..-h^'iÇr,/) - e,/,] =0 (k =^ i, 2, . . . , q), 



où les e,7( sa ni pq constantes données. 

 » Ces équations admettent 



p — q\ 



solutions, en ne regardant pas comme distinctes deux solutions qui no 

 diffèrent que par l'ordre dans lequel se présentent les q points 



*^i» ^2» •••» *^q ' 



» Ce résultat, qui contient comme cas particuliers ceux que je viens 

 d'énoncer au sujet des équations (1) et (2), peut se démontrer par une 



