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méthode analogue à celle qui m'a permis d'élablir le rosultat p;iriicuiier 

 relatif à l'équation (i) (^Bulletin de la Sociélé mathématique de France, 

 t. XI). 



» Cette méthode consiste à approfondir ce qui se passe dans un cas 

 particulier que j'appellerai eas singulier elliptique, et qui est celui où les 

 ^rt('<'^') s'annulent et où la fonction se décompose en un produit de 

 p fonctions 9 elliptiques. Je me bornerai à dire que, dans ce cas, la 

 courbe C de genre/) se décompose en p courbes de genre i. 



» Le résultat de Riemann relatif à l'équation (2) et le mien qui se rap- 

 porte aux équations (i) entraînent des conséquences qui semblent, au 

 premier abord, mal se concilier entre elles. Le paradoxe, bien entendu, 

 n'est qu'apparent, et tout s'explique par la circonstance suivante : 



)) Soit, par exemple,/? = 3; formons les deux équations 



I 0(i/, — e^, u., — Co, »3 — e.,) = o, 

 ( B(u, — e\, u., — e„, W3 — p!,) = o. 



Si l'on regarde ?/,, i/o» "3 couime les coordonnées rectangulaires d'un point 

 dans l'espace, ces équations représentent une courbe que j'appellerai A. 



» Dans certains cas, cette courbe A se décompose. Pour /> = 3, la courbe C 

 se réduit à luie courbe plane du quatrième degré sans point double. Les 

 propriétés géométriques de ces courbes planes permettent très aisément 

 d'expliquer les circonstances de la décomposition de la courbe A, et le pa- 

 radoxe s'évanouit. 



» J'arrive à une autre question. 



M M. Lie a appelé surface de translation une surface dont les équations 

 peuvent être mises sous la forme 



^i = fi{t) + ?/(^') {i= T, 2, 3), 



où .r,, J?2, x^ représentent les coordonnées rectangulaires d'un point dans 

 l'espace et où t et t' sont deux variables auxiliaires. 



» On peut de môme appeler variété de translation une variété kp — i di- 

 mensions dont les équations peuvent être mises sous la forme 



où X,, X2, .. .,Xp sont les coordonnées rectangulaires d'un point d:ins l'es- 

 pace kp dimensions et où les / sont des variables auxiliaires. 



» Cela posé, supposons, dans le cas de p = 3, que a,, u.^, «3 représen- 

 tent les coordonnées d'un point dans l'espace; ou, plus généralement, pour 



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