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p quelconque, supposons que «i, u>, ..., Up représentent les coordonnées 

 d'un point dans l'espace k p dimensions. 



» Alors Riemann a démontré que, dans le cas de yo =: 3, la surface 



est de translation. De même pour/> quelconque, et, s'il s'agit de fonctions 

 spéciales, la variété 



©(«,) = o 

 sera de translation. 



» On peut se demander si cette propriété est encore vraie pour les fonc- 

 tions abéliennes non spéciales. 



» La réponse doit être négative. 



» On pourrait déduire de là, sous la forme d'équations aux dérivées 

 partielles auxquelles doit satisfaire 0, la condition pour que les fonctions 

 abéliennes de périodes données soient spéciales. 



» Mais je n'ai pas traité la question dans toute sa généralité. J'ai envi- 

 sagé seulement les cas voisins du cas singulier elliptique, c'est-à-dire que 

 j'ai supposé que, les a^ restant finis, les an^i^i^lc) sont très petits. On peut 

 alors former aisément les conditions pour que la variété G ^ o soit de 

 translation, en nombre égal à celui des conditions pour que les fonctions 

 abéliennes soient spéciales. Dans le cas de /> = 4» il n'y a qu'une seule con- 

 dition qui s'écrit 



v/a,2«|3«3/,«24 + V«I3«)<«!23«2« = V^l 2 «I 4 «^23 « 



En passant à la limite de diverses manières, on peut être conduit à des 

 résultats intéressants; c'est ainsi que l'on voit que la surface 



xyz + a; -h y + ^ = o 



est de deux manières différentes une surface de translation. 



1) Outre le cas singulier elliptique, il y a un cas remarquable que l'on 

 pourrait appeler le cas singulier abélien ; c'est celui où la fonction se dé- 

 compose en un produit de plusieurs fonctions abéliennes d'un nombre 

 moindre de variables. 



» En envisageant un cas voisin du cas singulier abélien, puis en passant 

 à la limite d'une manière convenable, on est conduit à certains résultats 

 intéressants au sujet des fonctions abéliennes. 



» On voit, par exemple, que certaines surfaces, dont les équations 



