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 un tel développement; A„ et B„ sont des entiers (réels ou complexes) pre- 

 miers entre eux. 



» Supposons que l'on ait 



(a) 1B„1<M«, 



M étant un nombre déterminé. Dans ces conditions, je dis que, si le déve- 

 loppement (i) représente une fonction méromorphe, B„ renferme des facteurs 

 premiers dont le module augmente indéfiniment avec n. Ea effet, supposons 

 que les B„ ne renferment qu'un nombre limité de facteurs premiers; soit/? 

 l'un d'eux et r\in entier satisfaisant à la condition 



!/'''!> M. 



« Posons 



z=p^^, 



il est manifeste que cette substitution fera disparaître tous les facteurs p 

 Bgiirant dans les B„. Après un nombre limité de substitutions de ce genre, 

 nous serions amené à une série à coefficients entiers. 



M On pourrait croire que l'inégalité (oc) est purement artificielle et tient 

 au mode de démonstration employé; il en est peut-être ainsi en partie; 

 il est facile de montrer par un exemple qu'une inégalité restrictive de ce 

 genre est nécessaire pour que le théorème soit exact. Posons 



z z- z'^ s" 



(p ( = ) = I -H ^ +■ ^4 + ^-^ -f- . . . -+- ^ + . . . ; 



on voit immédiatement que la fonction méromorphe — -— admet un déve- 

 loppement suivant les puissances de s, à coefficients rationnels et nayant 

 en dénominateur que le facteur premier 3. 



» Je signale, en terminant, le rappiochement que 1 on pourrait établir 

 entre ces propositions et certaines propositions de M. Tchebycheff (') sur 

 des sujets analogues. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur certains systèmes d'équations aux dérivées 

 partielles. Note de M. J. Beudo.v, présentée par M. Picard. 



« 1. Soit une expression <f(x,, x.,, .,., x^) dépendant d'une fonction 

 arbitraire d'un seul argument fonction de x, , Xn, . . ., x^; on a la propriété 



( ' ) Voir, par exemple, Cours autograpliié de M. Hermite. 



