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suivante : Le système différentiel dont o est la solution la plus générale 

 est tel qu'à partir d'un certnin ordre /j. les dérivées d'ordre p'^p, sauf 

 l'une d'entre elles, s'expriment en fonction de cette dernière et des déri- 

 vées d'ordre inférieur (' ). 



» Je considère alors un système complètement intégrable jouissant de 

 cette propriété, et je me propose de montrer que la méthode de M. Dar- 

 boux (^Annales de l'Ecole Normale, 1870) permet de ramener son intégra- 

 tion à l'étude d'équations différentielles ordinaires. 



» J'emploierai les notations suivantes : 



à'^= _ 2.A, 



OC],OCn,. . ..Kn 



» r^ ^ nombre des combinaisons de n lettres p a p. 



" Le système donné se compose de rf^ — i équations de la forme 



(A) Z^^'p^ p„ = $p„p^,P„(^.,^.,...,«^„=,...,Z'^-"ZL:L^ „J. 



)) Aux variables x,,x.,, ..., a;„ je substitue les variables a:,, x.,, ..., x„_,,y, 

 me réservant de préciser plus tard le choix de cette nouvelle variable y. 

 J'aurai alors 



(•) 



I, 2, . . ., yO — I, À, 4- Aj-H. . .4- A„= A-, J = I , 2, ...,«— I, 



(2) — 



^ ày dxi dy dy dxi 



» J'ai supposé que la dérivée Z^^'^^^ èi3.il paramétrique ; je considère, 

 en particulier, parmi les r^ — i équations données, les suivantes : 



7'/" — (T) < -r- T ~ yl.p-l) y(p) \ 

 ^a,+i,o(. a„_,,a„-i — ^a,+i a„— i \-^i' • • •■< '^n"' ••••,'-' A/a, a,,/' 



7"" — d) ('->- .y- - 7(/'-i)y(p) \ 



^a,.a.-t-i a„.,,a„— 1, ^a,,cc.+l a„-i \'* i" • • •■> ■-'■n"' • • •> ^ '-'a,,. ...a,,/» 



/(/') — rf) (V T - 7ip-f>7ip) \ 



^a„a a„_,-t-i ,a„— 1 — ^x, «„_,+!«„— iV,"^) > • • •> •^n-'t • • . , 'j ^a,,. ..,»„/'' 



(') TnESSE, Thèse de Doctorat, iSgS. — Riqdieh, Annales de l'École Normale 

 supérieure, iSgS. 



