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et je les difTérentie par rapport ky. J'obtiens, en tenant compte des condi- 

 tions d'intégrabilité, 



< ^Zy;,'a, a„-i.a„ df^ 



dxi dv 



(3) < _ <^^a a,+i a„-i à£n _^ ^Zff....^ / d^g g.+i a^_i d£^ 



' ~ da^n dy '" ' dy \ dVP] ,. ' ^ dx, 



(i = I, 2. ..., rt — l). 



■ ,«„ 



» Je choisis maintenant la nouvelle variable y de façon que 



àx^ d^a^ a,-n 



o (e = I, 2, ..., « — i). 



grâce à cette hypothèse, les équations (3) expriment les 



& 



dW 



♦ "';• •'" {i—i, 2., .... n — i). 



s 



dxi 



en fonction des dérivées d'ordre inférieur ou égal. 



» Différentiant chacune des équations de (A) par rapport à a?, , a?,, . . . , 

 a;„_, successivement, je me trouve en présence d'un nouveau système dif- 

 férentiel définissant x^, z, ^''', ..., z'P^ en fonction de a;,, x^, ...,x„_,, de 

 telle manière que toutes les dérivées du premier ordre des fonctions incon- 

 nues sont exprimées au moyen de ces fonctions et des variables indépen- 

 dantes. M. Lie a montré qu'un tel système s'intègre par des équations dif- 

 férentielles ordinaires ; sa solution générale ne renferme que des constantes 

 arbitraires, nous devons les considérer ici comme autant de fonctions in- 

 connues dey, dont quelques-unes d'entre elles seront déterminées par les 

 conditions d'intégrabilité (2). 



» 2. On Aoit de suite que la méthode précédente est applicable aux 

 systèmes généraux définis ci-après : 



» Ils définissent p fonctions ?/,, Mo, ..., «p des variables x^, x.^, ..., a;,,, 

 et sont composés de p groupes d'équations, tels que le groupe de rang i 

 se compose de r^'~' équations définissant toutes les dérivées d'ordre pi de 

 M, sauf («,y'ii) (2) (H) en fonctions de celle-ci, des dérivées d'ordre infé- 



rieur de a,, des fonctions «,+ ,, ..., «p et de leurs dérivées. 



» 3. Des systèmes tels que je les ai définis se rencontrent dans les 

 applications de la théorie des groupes à l'intégration des équations aux 

 dérivées partielles. 



» Soit, par exemple, une équation aux dérivées partielles d'ordre n, 

 /= o, définissant une fonction :; des variables x et y; supposons que cette 



