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 » Neumann a démontré que la série (a) converge pour 1 = ± i à deux 

 conditions : i" si la surface S est convexe; 2° si l'on a 



(5) / ffyo'w = o, 



Y étant la densité de l'électricité en équilibre sur la surface S lorsque l'on 

 suppose cette surface conductrice et très éloignée de tous les autres con- 

 ducteurs. 



» Cela suffit pour résoudre le problème de Dirichlet toutes les fois que S 

 est convexe, que la condition (5) soit d'ailleurs remplie ou non. 



» En revanche, un examen superficiel ])ourrait faiic croire que la pre- 

 mière condition est essentielle et que la méthode de Neumann ne s'applique 

 qu'aux surfaces convexes. 



» Il n'en est rien pourtant; je suis parvenu à démontrer que la série (2) 

 converge encore, pourvu que la condition (5) soit remplie, quand la sur- 

 face S n'est pas comexe. J'ai supposé toutefois que S est simplement 

 connexe et ne présente pas de singularité, je veux dire qu'elle a en tout 

 point un plan tangent et des rayons de courbure déterminés. Il est d'ailleurs 

 probable que ces deux conditions, ou au moins la seconde, ne sont pas 

 nécessaires. 



» Ne pouvant développer ici toute la démonstration, j'en vais indiquer 

 la marche générale. 



» Soient J,vi et J^^. les valeurs de l'intégrale 



étendue respectivement à tous les points ce, y, z intérieurs à S et à tous 

 les points extérieurs à S. On trouve aisément 



ce qui nous permet de poser 



» On trouve ensuite facilement 



J/n + J/n ^= ^/n-l ^m-\ ' ^sm !> O' ^ -zm ^' '^- 



r<r<r< ■•<'• 



