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 » On peut ensuite, si la surface est simplement connexe, assigner une 

 limite supérieure M et une limite inférieure y. au rapport ^f^; ces deux 



•'2m 



limites, qui sont évidemment positives, ne dépendent que de la surface S. 

 Si donc nous posons 



M -+- H^ ~ '"' 

 nous aurons 



o<L<.. 

 On trouve ensuite 



J-Jm"!" Jom"^ AL"'", 



A étant une constante; et cela prouve que la série 



VJo+s/j. + \/'s, + ... 



est convergente. 



» Définissons maintenant une constante C^ par l'équation 



/ U,„rAo = C^J cho, 



les intégrales étant étendues à tous les éléments f/to de la surface S, de 



sorte que f dio n'est autre chose que l'aire totale de cette surface. Posons 

 alors 



K,„=y(u,„-c,„)v/o.. 



» On peut démontrer, si la surface S est simplement connexe, que 



K,„<B(J„„+j;„J<ABL=''% 



B étant une constante. 



» D'autre part, U,„ est plus petit en valeur absolue qu'un facteur con- 

 stant multiplié par N'", N + i étant le maximum du nombre des points de 

 rencontre d'une droite avec la surface S; et il en est de même, par consé- 

 quent, de C,„ et de U,„ — C,„. 



» En combinant ces deux séries d'inégalités, on peut démontrer que 



|U,„,, -C,„ !<(...+ P77Z)L'«, 



a et p étant deux constantes positives. 

 )) Il résulte de là que la série 



Uo + >.(U,-C„)+l=(U,-C,) + ... 



