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» Pour obtenir, par ce procédé, des surfaces intéressantes, il importe 

 de chercher à abaisser le degré le plus possible; si d'ailleurs on veut des 

 surfaces de genre trois, on voit facilement que le nombre six est le mi- 

 nimum du degré. 



» Voici comment on peut définir une surface du sixième ordre, de la 

 classe indiquée : elle présente, en outre, l'intérêt d'être liée d'une manière 

 très simple à la surface de Rummer. 



» Soient S, et Stj deux quelconques des 64 fonctions thêta abéliennes 

 normales, d'ordre un et à trois variables; le produit SiSto ^i une certaine 

 caractéristique, de plus il est pair ou impair. Les 62 autres fonctions thêta 

 se groupent deux à deux de manière que le produit de deux fonctions, 3-, 

 et 3^;, d'un même groupement, ait même caractéristique que 3, 5., ' o" forme 

 donc, au total, 32 produits 3,&j, parmi lesquels seize sont pairs et seize 

 sont impairs. Les seize fonctions paires (comme aussi les seize impaires) 

 s'expriment linéairement à l'aide de quatre d'entre elles, convenablement 

 choisies. 



» Désignons maintenant par 0,, Q.,, Q,, Qj. celles des quatre fonctions 

 ainsi définies qui n'ont pas la même parité que le produit ^,5n, et consi- 

 dérons la surface S, pour laquelle les coordonnées homogènes d'un point 

 sont 



pXj= ©,(«, V, w) (i — i, 2, 3, 4)» 



II, i'. M' étant liés par la relation 



S, (h, V, «') = o. 



» La surface S est d'ordre six : en effet, d'après un important théorème 

 de M. Poincaré, les trois fonctions abéliennes 8, = o, ©^ = o, 2r, = o, d'or- 

 dres 2, 2 et I , ont 2.3.2.2.1 = 24 zéros communs; si donc c? désigne le 

 nombre des zéros fixes communs à ^, et aux quatre fonctions 0. le degré 

 de S sera égal à 7(24 — d), (le facteur ^ provient de ce que les fonctions 

 et &, sont paires ou impaires). Or â, et les quatre s'annulent simulta- 

 nément pour douze demi-périodes : le degré de S est donc bien égal à 

 six. 



» Aux demi-périodes et aux 63 fonctions d'ordre un, autres que S,, 

 correspondent sur S des points et courbes remarquables. 



» Les douze demi-périodes qui annulent ^, et les quatre donnent, sur 

 S, douze droites, qui concourent en un même point O : ce pointestun point 

 triple de la surface, il correspond aux valeurs des paramètres qui annulent 



