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•■ Supposons r< m. Si l'on met à la place àe x^, x^ x„ des fonc- 

 tions déterminées d'ailleurs quelconques d'une variable t, et que l'on con- 

 sidère r des lettres ::, soit 



celles-ci deviendront des fonctions de t dépendant de r constantes arbi- 

 traires. On peut donc, par l'élimination des constantes, former un sys- 

 tème S de r équations du premier ordre en z^, z-.,, . . , z^ dont l'intégrale 

 générale est donnée par les r premières des équations (i); il est clair que 

 le système S ne changera pas si, à la place des fonctions x^, x.,, . ., x^, 

 on prend m autres fonctions dérivant des premières par une substitution 

 du groupe. 



» Ces généralités ont peu d'intérêt. Prenons de suite le cas particulier 

 oh le groupe (i) serait un groupe de substilulions birationnelles entre les r 

 et les X, les a y figurant aloébriquement. Le système S est alors un système 

 d'équations différentielles algébriques, et les coefficients de z,, z.^, . . ., z^ 

 et de leurs dérivées sont des fonctions rationnelles àe x,, x.^, . . . , .r,„ et de 

 leurs dérivées qui restent invariables par les substitutions du groupe. Ceci 

 posé, faisons un choix particulier pour les fonctions x^, x^, . . ., x,„. 



» Nous donnerons aux constantes a des valeurs déterminées, a", a", . . ., 

 a",. I^a substitution birationnelle (i) est alors parfaitement déterminée, 

 et, comme je l'ai montré (Acta malhematica, t. XVIIl), il existe une infi- 

 nité de systèmes de transcendantes F,(/), ..., F,„(/), uniformes dans 

 tout le plan, admettant une première période w', et telles que 



F,(^^.co;-=/,[F,(0, F,(^), F,„(/),<, a», ...,«;] {/. .= i, 2, .. .,m). 



» Nous prendrons pour les x un tel système de fonctions. Or les coef- 

 ficients du système S sont des fonctions des x et de leurs dérivées que 

 laissent invariables les substitutions du groupe (i); on en conclut que ces 

 coefficients sont des Jonctions doublement périodiques de t. Nous avons donc 

 un système S d'équations différentielles algébriques à coefficients double- 

 ment périodiques et dont l'intégrale générale est une transcendante uni- 

 forme jouissant de propriétés remarquables par rapport au groupe de la 

 double périodicité. 



» On peut se poser la question inverse. La substitution birationnelle 

 donnée conduit au type S d'équations différentielles, où les coefficients 

 des z et de leurs dérivées sont des fonctions rationnelles des x et de leurs 

 dérivées. En remplaçant ces coefficients par des fonctions de /, on rccon- 



