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>» Ces conventions admises, je vais démontrer que : 



» Théorème. — Tout déterminant potentiel mineur ^^ est un multiple 

 entier du déterminant majeur de même ordre, c' est-à-dire que S^ = k.!S.p (A étant 

 un nombre entier). 



» Je commence par rajjpeler deux propriétés connues des déterminants 

 potentiels (') : 



» i" La valeur de A„ est égale au produit n\ de ses éléments, multiplié 



par le produit de leurs '—^ — ~ différences deux à deux; 



)) 2" La valeur de S^ est égale au produit n(a') de ses éléments (pre- 

 mière colonne), multiplié par le produit n(a — h) des différences deux à 

 deux de ceux-ci pris à la première puissance, et par un facteur numérique, 

 dont la valeur change, dans un même ordre p, d'un Op à l'autre ù . 



» De la première de ces propriétés découlent immédiatement les rela- 

 tions connues qui lient entre eux les déterminants majeurs des divers 

 ordres, savoir : 



A„= n\^„_, = n\(n-^)\^^_., = ...= n\{n — ^)\(n- 2)! . . . 4 ! 3! 2!. 



» De la seconde, moyennant l'intervention du lemme, on conclut, 

 directement aussi, le théorème ci-dessus. 



» Si les exposants des puissances se succèdent régulièrement, à partir 

 de l'exposant initial /, avec l'intervalle constant d'une unité, dans les co- 

 lonnes du déterminant mineur (celui-ci pouvant alors être regardé comme 

 le résidu d'un majeur d'ordre n oîi l'on aurait effacé n — p lignes quelcon- 

 ques, ainsi que les n —p colonnes consécutives de l'ordre le plus élevé à 

 partir de la n'*'""'), la valeur du déterminant mineur est simplement 



S^ = n('a')n(a — h). 



» Il n'en est pas de même si les valeurs des exposants sont discontinues 

 (i', j + k, i -\- m, i -\- q, . . .y, la valeur du déterminant, écrite ci-dessus, est 

 alors multipliée par un facteur entier y, qui est, comme n(fl') et n(a — b), 

 une fonction symétrique des éléments a, b, c, ..., et dont la complication 

 s'accroît rapidement avec la discontinuité des exposants. En voici quelques 



( ') Pour la démonstration de ces deux propriétés, on peut consulter, par exemple, 

 le Traité d'Algèbre supérieure de notre éminent correspondant M. G. Salnion, sous le 

 titre Lessons introductory to the modem liiglier Algebra, p. i4, i5 et 34o, 4"^ édiiton 

 (Dublin, i885). 



