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» On voit ainsi que S a, pour ligne double, une cubique plane, 

 intersection de la première polaire et du plan polaire de O par rapport à 

 la surface de Kunimer K. Ce mode de génération montre également que S 

 admet pour points doubles les seize points doubles de K et contient les 

 douze bitangentes qu'on peut mener de O à cette surface; enfin les deux 

 surfaces S et K se touchent le long de la courbe de contact du cône, de 

 sommet O, circonscrit à R. 



)) Notre construction géométrique met aussi en évidence le lien qui unit 

 la surface S aux fonctions abéliennes. On sait, d'après un beau théorème 

 de M. Klein, que, étant données une surface de Kummer, R, et une 

 droite, S, à toute répartition en deux couples des quatre points communs 

 à R et à S, correspond une répartition en deux couples des quatre plans 

 tangents qu'on peut mener à la surface par la droite, et réciproquement. 

 Si la droite passe par O, les plans tangents précédents touchent le cône de 

 quatrième classe, C, circonscrit à R à partir du point O : il en réstdte que, 

 à un couple de plans tangents du cône C, correspond un seul point de 

 la surface S, et, inversement, qu'à un point de S correspondent deux 

 couples de plans tangents de C, ces quatre plans ayant une droite com- 

 mune. C'est précisément, sous forme corrélative, une relation que nous 

 avons signalée entre la surface S et la courbe plane du quatrième ordre. 



)) On déduit également de cette remarque que les sections de la sur- 

 face S par les plans tangents au cône C sont des courbes (du sixième 

 ordre) de genre trois, ayant mêmes modules; elles correspondent au cône 

 point par génératrice. 



» L'emploi des fonctions abéliennes permet d'étudier assez simplement 

 les courbes tracées sur la surface S; nous indiquerons deux propriétés 

 relatives aux sections de cette surface par ses adjointes d'ordre trois, c'est- 

 à-dire par les surfaces cubiques qui passent par la courbe double et par le 

 point triple isolé, O. 



» Admettons, pour abréger le langage, que la fonction désignée par 

 'èr^{u,v,\v) dans notre Note précédente, soit la fonction abéhenne du 

 premier ordre ayant tous les éléments de sa caractéristique nuls; cette 

 fonction est paire. Cela posé : 



» 1° Les courbes communes à S et à ses adjointes d'ordre trois ont 

 pour équation générale 



f!^{u,v,w) — o, 



où ç(m, (>, w) est une fonction abélienne paire, d'ordre trois, de caracté- 

 ristique nulle, et réciproquement. 



