( 428 ) 

 » Soit, d'autre part, le système 



(r) u,- = F,-(a-s,uf) ('^j = i, 2. . . . , m 



où les F, désignent des fonctions holomorphes des variables x, des quan- 

 tités iif', au voisinage du point a:-, = a, ar„ = (7„, i/f' = f'i pour lequel 



on a 



)' On peut chercher à calculer par différentiation des équations (i) les 

 dérivées des fonctions inconnues u au point a. Soit A» le déterminant, 

 défini au signe près, des inconnues lorsqu'on veut ainsi déterminer les 

 dérivées d'ordre a, celles des ordres précédents étant supposées connues. 



» Théorème. — Si Von a pour les dérivées des u jusque, l'ordre r inclu- 

 sivement un système de valeurs S, vérifiant les équations dérivées, et si AaF^ o, 

 ( x > r) ; si. de plus 



Or,, 



<r. 



pour toutes les valeurs de s, j et h, il existe une solution holomorphe et une 

 seule, vérifiant les équations (i), et formée de fonctions u qui se réduisent en a 

 aux h, et dont les dérivées au même point prennent les valeurs du système S. 



» Application. — Étant donnée une substitution satisfaisant aux conditions 

 du théorème précédent, on propose de déterminer une fonction u et une 

 constante k telles que l'on ait 



)) A, =^ o est une équation en X- de degré n. Nous supposerons qu'elle n'a 

 pas de racine nulle. Les racines se classent en différentes espèces, telles 

 que, à chaque racine A, d'ordre /•, correspondent des fonctionsy),,yJ2, ...,/,^. 

 holomorphes en a et que, si kj est de première espèce, on ait 



y,, étant une pareille fonction, posons 



"''^■^ ■'^")~ LA-, 



» A la racine// d'ordre /■/ correspondent r, solutions ?/,,. .... r/,y ; «j^est 

 un polynôme par rapport aux/",,, ..., fi^_^ , fi^^X ^^"^f relatifs à des racines 

 des espèces précédentes, les coetficients étant des polynômes en è,, à 

 coefficients constants. 



