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commutatives, tandis que ~ et ^r ne le sont plus. Voici à quelles propo- 

 sitions on arrive : 



» i" La formation des invariants, telle qu'elle va être donnée, tombe 

 en défaut pour une seule classe d'équations singulières, définies par 



n) co, = o. 



c'est-à-dire de la forme 



d.v 



^■=".(:gr-«.(£v-".ê-".- 



» Elles ont été étudiées par M. Roger Liouville, au point de vue de 

 leur intégration, et par moi-même, au point de vue de la détermination 

 de leurs invariants ('). 



» 2° Pour tonte autre équation, il existe une infinité d'invariants rela- 

 tifs, chacun d'eux, J, étant affecté de deux indices entiers, positifs, 

 négatifs ou nuls, p et q, de sorte que, si la transformation (2) change J en 



J', on a 



r D(X.Y) -|-/'/^X ()X\P-i 



■' -•' LD(^, v)J [00:^" dy) 



» Tout invariant absolu esl alors une combinaison homogène et de degré 

 zéro, par rapport à chaque indice, des invariants relatifs. 

 » 3" Il existe trois paramètres différentiels : 



dz 

 ^ (ta- 



A^.T = ^ - '-^-^^ "^ J (indices n + , , 9 - i). 



(indices/), y + 1 ), 



AT <^J , '"s . T , '.l-W,..), -H (0(05+ t04,„ T 



•' oy 5(0 4 (oj 



[3/7 + 3^/ 6 (O5 2(0,(0,, -(- (0(0, + (0,,|„\ 2/? + 9(04„,"| 



(indices/? + i , r/), 



qui, appliqués à J, donnent de nouveaux invariants. 



» l\° On obtient tous les invariants relatifs en combinant ces paramètres 



(') RoGEii Liouville, Sur les invariants de certaines équations différentielles 

 {Journal de l'Ecole Polytechnique, LIX" Cahier). — Tresse, toc. cit. 



