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 avec quatre invariants seulement, qui sont 



bco: 



co, (ini]ices3, —2), i^e^we (indices 5, — \\, 



(1); ^ 



— Sto^Wou, 4- cojtoom + to'-oji (indices i, 2), 



(indices 4, — ^)- 



» Les trois paramètres appliqués à w^ donnent des résultats identique- 

 ment nuls. 



» 5° Il existe deux invariants relatifs du quatrième ordre, w, et H ; trois 

 du cinquième ordre, à,H, A^,H, A_yII; onze du sixième ordre, et, en géné- 

 ral, pour n > 6, du rt"'"" ordre. 



M On connaît la signification de la relation (3) ; elle exprime que, quelle 

 que soit la direction de sa tangente, la courbure d'une courbe intégrale 

 n'est jamais infinie. La seconde équation invariante du quatrième ordre, 

 II = o, n'a pas encore été signalée, je crois; il serait intéressant d'obtenir 

 sa signification. 



)) 6° A l'aide de ces invariants, on peut former des critériums néces- 

 saires et suffisants pour qu'une équation (1) puisse se ramener, par une 

 transformation ponctuelle, à une équation donnée de même forme. 



» Par exemple, on peut chercher à quels caractères on reconnaîtra 

 qu'une équation (i) admet, une transformation infinitésimale. C'est une 

 étude sur laquelle je me réserve de revenir, en même temps que je déve- 

 lopperai la méthode qui m'a conduit aux résultats précédents. Elle exige 

 la discussion de différents cas, suivant que l'équation (i), même avec 

 0J4 ^ o, admet une, ou deux, ou trois transformations infinitésimales, et 

 suivant la structure de leur groupe. En particulier, en se plaçant dans 

 toute la généralité du problème, les conditions nécessaires et suffisantes pour 

 qu'il y ait une transformation infinitésimale sont que trois invariants absolus 

 quelconques soient toujours liés par une relation. Avec deux transformations 

 infinitésimales, il y aura une relation entre deux invariants absolus quel- 

 conques; mais ici, cette condition n'est plus suffisante. 



» Au reste, il n'y a plus, dans cette question, qu'à s'inspirer des idées 

 très fécondes exposées par .Lie dans un de ses nombreux Mémoires ('). m 



(') SopHUS Lie, Classification and InlegraLion von Diffcrentialgleichungcn 

 {ArchiK' for Mathematik og nnturi.idenskal:>, Kiistiania, iS83). 



