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 » Soit 



(i) s = Y{x,y,z,p,q,r,l) 



une équation du second ordre où le second membre est holomorphe dans le 

 voisinage des valeurs x^, y ç,, z^, p^, y„, /■„, /„ des variables x, y, z, p, q, r, t; 

 soient ç^'^) ^' 't'(J') ^f ^ fondions holomorph.es dans le domaine des points 

 Xg et y^ respectivement, et telles que l'on ait 



(p(a:„)==o. ?'('^'o)=Po. ï'X'^'o) = '"u. 



» Si!, en outre, les deux dérivées partielles pj -r- sont nulles pour ces valeurs 



initiales, l'équation ( i ) admet une intégrale holomorphe dans le voisinage du 

 point (^Xg,yg) se réduisant à (^(x) pour y =y^ et à ^(j) pour x =^ x^. 



» 2. L'emploi des fonctions majorantes, combiné avec quelques trans- 

 formations simples, ramène la démonstration de ce théorème au lemme 

 suivant : [L'équation 



^ ■' ( x-\-y-^z+j)-\-q\l / ■+ A V '^ 



oii M, p, R sont positifs, admet une intégrale holomorphe dans le domaine de 

 l'origine, se réduisant à zéro pour x ^ o et pour y =^ o. 



» S'il existe une intégrale satisfaisant à ces conditions, les valeurs ini- 



T~^ ) ' ( y^ ) ' ^°"'' 'toutes nulles. Les va- 

 leurs initiales des autres dérivées se calculeront ensuite de proche en proche 

 au moyen de l'équation (2) et de celles qu'on en déduit par des différen- 

 tiations successives. On voit immédiatement que tous les coefficients du 

 développement ainsi obtenu sont réels et positifs, et qu'ils sont moindres 

 que ceux que l'on obtiendrait en prenant pour valeurs initiales des dé- 



rivées ( j-^ j , i -r-^ j des nombres positifs quelconques (m > 2, tî > 2). 



Il suffit donc, pour établir le lemme en question, de montrer que l'équa- 

 tion (2) admet une intégrale holomorphe dans le voisinage de l'origine, 

 qui est représentée par une série entière dont tous les coefficients sont 

 réels et positifs. Or, si l'on cherche une intégrale de celte équation se ré- 

 duisant à une fonction de u = x -hy, on est conduit à l'équation différen- 



