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» 2. Le nombre des maxima, celui des minima et celui des séquences 

 sont liés si étroitement qu'il suffit d'étudier un seul de ces nombres. En 

 étudiant le nombre des séquences des permutations circulaires, j'ai obtenu 

 des résultats nombreux. Je vais indiquer les principaux. 



» 3. Désignons par Q„,j le nombre des' permutations de n éléments 

 qui présentent chacune s séquences. 



» I. Pour toute valeur de n supérieure à 2, et quelque soit s, le nombre Q„,j 

 est un nombre pair. 



» II. Pour toute valeur de n, le rapport de Q„+,,2 à Q„,2 est égal à 2. 



» III. Pour toute valeur de v supérieure à l'unité, Q2v^i,sv 2 est égal à 



» IV. Chacun de ces deux derniers nombres est égal au coefficient de 



— i dans le développement de tanga; suivant les puissances croissantes de x. 



» 4. Les nombres Q„,j sont liés entre eux par une équation aux dif- 

 férences finies. 



» V. Pour toute valeur de n supérieure à 1, 



Qn,s= *Qn-i,s+ (n — S-hl)Qn-,,s--.' 



1) Cette équation nous permet de calculer de proche en proche tous les 

 nombres Q„ j, et d'en former le triangle des séquences des permutations circu- 

 laires. Dans ce triangle, le nombre Q„,2(j est à l'intersection de la colonne 

 de rang c et de la ligne de rang n — i. 



» 5. Appelons série de rang c la série 



Q2'7,2a+ Q2(H-l,2T^ ^~ V2a+2,aa^' + si2(7+3,2<T^' + • • • » 



qui a pour coefficients les nombres composant, dans le triangle, la colonne 

 de rang g. 



)) VI. Cette série est convergente toutes les /ois que z, en valeur absolue, est 

 inférieur à l'inverse de in. 



» VII. La somme Wa de cette série satisfait à l'équation aux différences 

 mêlées 



cWcr-, 



2 as dz 

 » VIII. Cette somme W^ est une fraction rationnelle, dont le dénornina- 



, , , cr(a + l) 



teur est du degré -^ 



f 2 



» 6. Appelons polynôme d'indice n, et désignons par K„(x) le poly- 

 nôme 



