( 7i6 ) 

 qui a pour coefficients les nombres composant, dans notre triangle, la 

 ligne de rang n — i. 



» IX. Ce polynôme satisfait à l'équation aux différences mêlées 



K„= [2 + {n - 3)x-]K„_. + 2(0;-^==)^. 



» X. Bans les permutations circulaires de n éléments, si l'on désigne par 

 ti.„ la valeur moyenne du nombre des séquences d' une permutation, on a. pour 

 toute valeur de n supérieure à 2 , 



^ — 1 

 Il 3 



de sorte que ce rapport de ;^.„ à n est indépendant de n. 



» XI. Dans les permutations circulaires de n éléments, si l'on désigne par 

 M„ la valeur moyenne du carré du nombre des séquences d'une permutation, 

 on a, pour toute valeur de n supérieure à 4 , 



M„ _ 30 « + 8 



et ce rapport de M„ à n- tend vers la limite ^ lorsque n croît indéfiniment. 

 » 7. La série entière à deux variables 



K,(^)+ ZK,(a-) + ^K,,(.r) + |ÇK,(:r) ^... 



est une série génératrice de tout le triangle. 



» XII. Cette série est convergente pour toutes les valeurs de x et de y dont 

 les modules sont l'un et l'autre inférieurs à l'unité. 



» XIII. La somme t{x, y) de cette série, c'est-à-dire la fonction génératrice 

 de tout le triangle, satisfait à l'équation aux dérivées partielles 



^(-=— )i-H(i--7)|=^H. 



» XIV. Si l'on pose 



• + / 



L îyz^— -y^i- X, 



cette fonction génératrice t,{x,y) est donnée par la formule 



^cc,y)=/^(L-lye^-e-^)-\ 



» 8. Ces différents résultats rappellent tout à fait ceux que j'ai trouvés 

 pour les permutations rectilignes. Ils sont, en général, beaucoup plus 

 simples. Les propositions II, III, X nous présentent ce phénomène sin- 



