( 523 ) 



lumetit immédiate, car on n'a pas ici, comme dans les cas précédents, une 

 forme analytique de l'intégrale générale dans le voisinage de l'origine. 



» Pour faire la démonstration, remarquons d'abord que les deux courbes 

 intégrales passant par un co!, dont nous venons de parler, ayant leurs tan- 

 gentes distinctes et un point simple à l'origine, on ()eut faire un change- 

 ment de variables tel que les axes des x et des jy soient les intégrales pré- 

 cédentes. L'équation différentielle aura alors nécessairement la forme 



dx dy 



arÇK, + ...) j^Xj + ...) 



les termes non écrits s'annulant à l'origine, >,, et "k,, désignant les racines 

 de (2). 



» Il est d'abord évident que, dans la région autour de l'origine où les 

 séries des dénominateurs convergent, une courbe intégrale ne peut ren- 

 contrer l'axe des x ou l'axe des y. Si, en effet, une intégrale rencontre 

 l'axe des j au point (a; = o, j ^ o), elle sera tangente en ce point à l'axé 

 des j' et devra, par suite, coïncider avec lui. Ceci posé, envisageons une 

 courbe intégrale passant à l'origine ou s'en rapprochant indéûniment, et 

 distincte de Ox ctOj. Nous pouvons supposer que, depuis un certain point, 

 elle est dans le premier quadrant. Suivons la courbe depuis ce point jus- 

 qu'à l'origine; si P désigne le point mobile de la courbe, le rayon vec 

 teur OP tourne toujours dans le même sens autour de l'origine O, cai- 

 autrement, pour la position de P correspondant à ce changement de sens, 

 la droite OP serait tangente en P à la courbe, et l'on aurait pour les coor 



données de ce point 



dx dy 



1^ -' Y 



et, par suite. 



X, + ... Xj-h... 

 égalité impossible. 



» Supposons, par exemple, que OP marche constamment dans le sens 

 de Oa? vers Oy, quand P tendra vers l'origine, OP aura nécessairement une 

 limite, puisque la direction OP marche toujours dans le même sens et ne 

 peut dépasser Oy, d'après ce que nous avons dit plus haut. 



» Il est donc établi que la courbe intégrale considérée a une tangente à 

 l'origine, et il en résulte immédiatement qu'il n'y a pas d'autres courbes 

 intégrales passant à l'origine ou s'en rapprochant indéfiniment que les 

 deux courbes indiquées. 



