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produit n(a) de tous ces nombres, multiplié par le produit Il(a, — Oj) de leurs 

 différences deux à deux, est un multiple \ du produit des n premiers nombres 

 1 , 2, 3, .... M, multiplié par le produit de leurs différences deux à deux, c'est- 

 à-dire est égal à 1 ( i" . 2"-' . 3"~- n — 2\ n — i". n' ). 



» Pour démontrer ce théorème, il est nécessaire et il suffit de faire voir 

 que la plus haute puissance d'un nombre premier p contenue dans le 

 deuxième double produit esl comprise dans le premier. 



» Or, pour chercher la plus haute puissance de p contenue dans un 

 produit de facteurs, il suffit de chercher : le nombre //z, des facteurs mul- 

 triples de p\ puis le nombre /tz^ des facteurs multiples dep-, le nombre m^ 

 des multiples de />'... , etc. L'exposant le plus haut de p dans le produit 

 est la somme m^ -+- m., -h m^-h etc. 



» Le théorème sera démontré si l'on prouve que le nombre m,^ ( q quel- 

 conque) des multiples de p''"Î!i est plus grand dans le premier double 

 produit que dans le second, ou au moins égal ; car alors la somme 

 m, -f- m.^ -+- m.^ -+- .... etc., sera plus grande dans le premier double produit 

 que dans le second, ou au moins égale. 



» Pour compter le nombre des multiples de />'' contenu dans les deux 

 doubles produits, disposons, comme ci-dessous, deux Tableaux 1 et II, 

 formes chacun de /j'' colonnes ayant, respectivement, pour titres les p'' 

 restes possibles de la division par jo'', et inscrivons dans le Tableau I tous 

 les restes de la division des n premiers nombres par /;'', et dans le Ta- 

 bleau II ceux de la division des n nombres donnés, en ayant soin (pour 

 une raison dont on se rendra compte ci-après) de laisser la case zéro vide 

 dans la première ligne de chaque Tableau. 



I. II. 



