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" Si l'on désigne par Q la partie entière du quotient de n par^', et par 

 R le reste de la division, le Tableau I contiendra Q lignes remplies (toutes 

 pareilles sauf le zéro qui manque à la première ligne), et une Q-l-i"^'"* ligne 

 incomplète commençnnt par zéro et finissant par R. 



» Dans le Tableau II le nombre total des restes sera le même que dans 

 le premier, c'est-à-dire n, mais ils y seront répartis différemment : certaines 

 colonnes seront surchargées, aux dépens d'autres moins remplies que dans 

 le Tableau I, le nombre des manque étant égal à celui des excédents. 



» Or, pour avoir le nombre total des multiples de p'' dans chaque 

 double produit, il suffira de compter, dans chaque Tableau, le nombre 

 des zéros et d'ajouter à ce premier résultat le nombre des combinaisons 

 deux à deux des restes dans chaque colonne, v compris la première, 

 puisque chaque colonne ne concerne que des restes congrus entre eux 

 (module p''). Il suffit donc enfin de montrer que ce nombre total sera 

 moindre, ou au plus égal, dans le Tableau I que dans le Tableau II. 



» On voit aisément que, chaque fois qu'on supprime un reste au bas 

 d'une colonne et qu'en même temps on en ajoute un au bas d'une colonne 

 moins chargée que celle-là, on diminue le nombre total des multiples 

 de/>^, indiqué par le Tableau, d'autant d'unités que le reste ainsi déplacé 

 (numériquement) a gagné de rangs vers le haut. 



» En effet, si A est le rang du reste supprimé, on supprime A — i com- 

 binaisons deux à deux dans la colonne dont il faisait partie, sauf dans la 

 première; et, s'il appartenait à celle-ci. on y supprime un multiple de />' 

 et seulement (à cause du vide de la première case qui y occupe le premier rang) 

 A — 2 différences; on a donc, dans les deux cas, supprimé A — i multiples 

 de/>', et amoindri d'autant le total de ceux-ci. 



» Si B est le rang du reste ajouté au bas d'une colonne, on ajoute B — i 

 combinaisons deux à deux, si la colonne n'est pas la première, et, s'il s'agit 

 de la première colonne, on y ajoute seulement B — 2 combinaisons, mais, 

 en sus, un multiple de p''. Dans les deux cas, on accroît donc de B — i le 

 nombre total de ces multiples. 



» Or, en déchargeant successiAcment les colonnes surchargées et en re- 

 portant des restes, en nombre égal, dans celles qui présentent des déficits, 

 opérations pour chacune desquelles on a, par leur nature même. A — B>o, 

 on arrivera nécessairement à remplir les cases comprises dans les Q pre- 

 mières lignes du Tableau II, et à obtenir, dans celui-ci comme dans le 



U'MC 



Tableau I, R -f- i restes dans la Q 4- 1 ligne, avec un vide au premier 

 rang de la première case. 



