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» Alors, d'après ce qui a été dil plus haiil, pour toute permutation 

 nouvelle (désormais horizontale) on aura A = B. Par suite, le nombre 

 total des multiples sera devenu, après ces déplacements successifs, le 

 même dans les deux Tableaux, et, par conséquent, il était, à l'origine, plus 

 grand dans le second que dans le premier, ou tout au moins égal si aucun 

 déplacement de bas en haut n'a été nécessaire (' ). 



)) IjC théorème est donc démontré (-). 



» Corollaire. — Si les n nombres donnés, au lieu d'être quelconques, 

 sont consécutifs à partir de c, leurs différences deux à deux sont les mêmes 

 que celles des n premiers nombres. Par suite, le produit de celles-ci dis- 

 paraît dans les deux membres de l'égalité par laquelle se formule le 

 théorème général, et il reste simplement la relation 



,1,1 



n («) == ''^ n <")• 



(i„ n 



c'est-à-dire : Le produit de n nombres entiers consécutifs est un multiple entier 

 du produit des n premiers nombres, proposition bien connue, qui n'est qu'un 

 cas particulier du tiiéorcnie ci-dessus. » 



(') Il y a, en elTet, une infinité de cas où le produit n(«)n(a— A) ne contient 

 exactement que le nombre des facteurs p'i- n requis par la formule 



x(/j'.rt — I '...3'' --.2"-'). 



et quand l'un de ces cas se présente, on en tire une infinité d'autres, par des considé- 

 rations de congruences qui ne peuvent trouver place ici. Par exemple, pour /i = 6, 

 on a, les nombres donnés a, b, c, cl, c, f étant i, 2, 7, \l\, gS, 21 1 : 



où X ne contient aucun des facteurs premiers 2, 3, 5. On en conclut qu'il en est de 

 même pour tous les groupes de six nombres que renferment les formes simultané- 

 ment associées : 



(l8o|Ji H- I, 1801J. -(- 2, 180 "A H- 7, l8o|J. -4- i4, 1 80 IX + 93, 180, u. -H 21 l), 



où \x peut i-ecevoir toute valeur entière ?o. Etc. J'ai, à ce sujet, un théorème général 

 que je ferai connaître ailleurs. 



(^) Cette démonstration appartient à notre confrère M. Guyou. Prenant comme 

 point de départ le principe sur lequel reposait la mienne (que je lui avais communiquée 

 avec l'énoncé du théorème), il en a tiré celle qu'on vient de lire, dont la simplicité, 

 l'élégance et la généralité ne laissent rien à désirer, et qui, par conséquent, doit sub- 

 sister seule. 



C. K., 1S90, 1" Semestre. (T. C.W, N- 10.) 7' 



