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onldéjà été faits dans cette direction, en particulier sur la façon dont les 

 transformations infinitésimales ou les équations finies d'un groupe fini 

 dépendent ou peuvent dépendre des variables ou des paramètres. Il faut 

 signaler en première ligne le bean théorème de M. Schur d'après lequel 

 les coefficients des transformations infinitésimales d'un groupe transitif peu- 

 vent devenir, après un changement de variables convenable, des quotients 

 de fonctions entières de nouvelles variables. M. Maurer s'est depuis occupé 

 de chercher dans quelles conditions les équations finies d'un groupe pou- 

 vaient dépendre algébriquement des variables ou des paramètres. Le but de 

 cette Note est de montrer l'importance des considérations de structure dans 

 cet ordre de recherches et d'indiquer quelques théorèmes très généraux 

 auxquels conduisent les derniers résultats trouvés sur la structure des 

 groupes finis. 



M l. Je m'occupe d'abord des groupes linéaires et homogènes, et, parmi 

 eux, de ceux où les paramètres entrent de la façon la plus simple possible, 

 c'est-à-dire d'une manière linéaire et homogène. 



» Si l'on considère un tel groupe g échangeant entre elles les variables 

 a',, .r^, . . ., x„ et si on \eprolonge au moyen de (/i — i) autres systèmes de 

 variables 



dans chacun desquels les variables sont échangées de la même façon que 

 les variables primitives; si de plus on fait la même opération pour le 

 groupe y linéaire el homogène général en œ,, Xo, ..., cv,^, de façon à obtenir 

 le groupe F, le groupe G prolongé de g est le plus grand sous-groupe de T 

 qui laisse invariante une certaine multiplicité plane en ,t,, jc.,, ..., cc\''~*'. 

 De là résulte immédiatement le théorème suivant : 



» Si le groupe linéaire et homogène g en cc,,x.,, . . . , x,,, dans les équa- 

 tions finies duquel les paramètres entrent d'une façon linéaire et homogène, 

 ne laisse invariante aucune multiplicité plane, il coïncide avec le groupe li- 

 néaire et homogène général en x\ , x^, ■ ■ ., *"„. 



» La propriété caractéristique, énoncée tout à l'heure, des groupes qui 

 nous occupent, peut être remplacée par la suivante : 



» Si X/ et Yf sont deux transformations infinitésimales quelconques, dis- 

 tinctes ou non, d'un groupe linéaire et homogène dans les équations finies 

 duquel les paramètres entrent d'une manière linéaire et homogène, la trans- 

 formation infinitésimale 



G. K., 1895, I" Semestre. (T. GX\, H' 10.) 7^ 



